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粗略证明勒让德猜想
摘要：勒让德猜想指出在n2到(n+1)2之间必有素数，通过4次等价转化证明了n2前后相连素数之比小于(n+1)2与n2之比间接证明了该猜想在n足够大的情况下成立。
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1、猜想简介
勒让德猜想是法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（1752—1833）提出的，该猜想指出：在n2到（n+1)2之间必有素数[1]。不难发现，较之更简单的“伯特兰-切比雪夫定理”已于1850年被证明（n到2n间必有素数）。但当时素数定理（PNT）还未被证明（1896年被证明），伯特兰猜想在PNT下是显而易见的。然而，勒让德猜想至今却悬而未决，它到底难在何处，采用素数定理[2]又能取得怎样的成果？如下是笔者的证明，虽未能彻底解决（仅n足够大时），但这无疑向终点迈出了一大步，具有一定的借鉴作用。
2、证明过程
求证：对于足够大的正整数n,n2到（n+1)2之间必有素数。
证明：
∴只需证明n2到n2+2n之间有素数即可
令函数a(n)=(n2+2n）/n2=1+2/n(1)
令较n2大的素数为P+(n2），较n2小的素数为P-(n2）。
则有函数b(n)=P+(n2）/n2(2)
∴只需证明b(n)<a(n）即可
令函数c(n)=P+(n2）/P-(n2)(3)
则有b(n)<c(n)
∴只需证明c(n)<a(n）即可
∵n2为合数
∴P+(n2）和P-(n2）为相连的素数
又∵π（x）≈x/lnx(PNT)
∴px≈xlnx
∴只需证明[（x+1)ln(x+1）]/（xlnx)<1+2/n(5)
（这里并不需要确定x与n2的关系-素数公式）
当n2足够大时，由式（4）可得：
∵式（5）中n为2,3,4,5,6等整数
∴n是连续增加的
又∵x为对应4,9,16,25,36等小于n2的素数px的序数x
∴x是可非连续增加的
即式（6）中的x≥n
∴1+1/x<1+2/n(1+1/x<1+1/n说明n2到n2+n间必有素数-LiKe定理）
即c(n)<a(n)
∴在n足够大的情况下n2到（n+1)2间必有素数
证毕。
3、结语
勒让德猜想不仅确定了比“伯特兰-切比雪夫定理”更小的素数出现的间隔范围，且该间隔随着n的增大逐步逼近n2，这对素数出现概率的研究意义深远。本文通过4次等价转化最终证明了比n2大的素数与比n2小的素数（相连素数）之比小于（n+1)2与n2之比，从而间接证明了该猜想在n足够大的情况下成立。虽然未能确定具体的n，但对该悬而未决的百年数学难题无疑是有力一击，具有较高的参考价值。此外，本文的证明其实确定了一个更为精细的定理：对于足够大的n,n2到n2+n间必有素数（LiKetheorem）。相信随着人类智慧的发展，该问题不久便会得到解决。
参考文献：
[1]肖欢.关于Legendre猜想的一个判定准则[J].南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):75-77.
[2]潘承洞.素数定理的初等证明[M].上海:上海科学技术出版社,1988.
李科.勒让德猜想的粗略证明[J].科技经济导刊,2020,28(07):163.
基金:自然科学梦想基金(WDM2019002)
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