首页 >
论文范文 >
自然科学论文 >
数学论文 >
数论论文 >
关于连续原根的分布研究
摘要：设p为素数,f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。设整数k≥2,l1,l2,…,lk是Fp中互不相同的元素.假设下列条件至少满足一个:(i)f(x)不可约;(ii)f(x)在F珔p没有重根,D<p以及k=2;(iii)f(x)在F珔p没有重根,以及(4k)D<p。文中证明对任意素数p>max{e23k,(kD)27},都存在n∈Fp,使得f(n+l1),f(n+l2),…,f(n+lk)都是模p的原根。
加入收藏
设p>2为素数,Gp表示模p的原根的集合。许多学者研究过模p的原根的分布性质及相关问题[1-8]。例如Vegh[3]证明了当时,存在模p的两个连续的原根,其中φ表示Euler函数。Szalay[9]推广了Vegh的结果,并考虑了l个连续原根的情况。
命题1(Szalay)设p为素数,并定义
则有
其中d(p-1)表示p-1的正因数的个数。
Tanti和Thangadurai[10]改进了上面的结论。
命题2(Tanti和Thangadurai)设l≥2为正整数。则对任意素数p≥e25.54l,都存在模p的l个连续原根。
此外,设表示I中使得对所有a∈A都有n+a∈Gp,以及对所有b∈B都有n+bGp的n的个数。Cobeli和Zaharescu[11]证明了
Cohen等人还考虑了在一般有限域中的情形[12,13,14,15,16]。
1、主要结论
本文将给出上述结果的一些推广。主要结论如下。
定理1设p为素数,f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。l1,l2,…,lk是Fp中互不相同的元素。定义
表达式
假设下列条件至少满足一个:
(i)f(x)不可约;
(ii)f(x)在没有重根,D<p以及k=2;
(iii)f(x)在没有重根,以及(4k)D<p。则有
表达式
其中ω(q)表示q的不同素因子的个数。
推论1设p为素数,f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。设整数k≥2,并设l1,l2,…,lk是Fp中互不相同的元素。假设下列条件至少满足一个:
(i)f(x)不可约;
(ii)f(x)在没有重根,D<p以及k=2;
(iii)f(x)在没有重根,以及(4k)D<p。则对任意素数p>max{e23k,(kD)27},都存在n∈Fp,使得
表达式
都是模p的原根。
定理2设p为素数,的次数为D≥1。设N(A,B,I,f;p)表示I中使得对所有a∈A都有f(n+a)∈Gp,以及对所有b∈B都有f(n+b)Gp的n的个数。假设下列条件至少满足一个:
(i)f(x)不可约;
(ii)f(x)在没有重根,D<|I|以及A∪B=2;
(iii)f(x)在中没有重根,以及(4|A∪B|)D<p,
则有
表达式
2、多项式特征和的估计
我们需要下面的一些引理。
引理1设，且f(x)在其分裂域内有t个不同的根。则有
证明见文献[17]第43页。
引理2设p是一个素数,χ是模p的d阶非主特征。设f(x)∈Fp[x]且f(x)≠a·hd(x),其中a∈Fp,h(x)∈Fp[x]。设s表示f(x)在其分裂域内不同根的个数,实数X,Y满足0<Y≤p,则有
证明见文献[17]第51页。
引理3设p为素数,l1,l2,…,lk是Fp中互不相同的元素。设f(x)∈Fp[x],deg(f)>0,且在没有重根。设1≤δ1,…,δk≤d-1,并定义多项式
假设下列条件至少满足一个:
(i)deg(f)<p以及k=2;
(ii)(4k)deg(f)<p,
则h(x)不能表为任何多项式的d次幂的常数倍。
证明参阅文献[18]。
3、定理1和推论1的证明
注意到
公式1
其中表示对模p的所有d阶特征χ求和。则有
公式2
容易证明
公式3
另一方面,设ψ为模p的特征群的生成元,可得
公式4
情形1假设f(x)不可约。显然
是p-1次幂的常数倍当且仅当
由于d1…dk>1,因此上式不成立。则由引理1,有
公式5
情形2假设f(x)在没有重根,并设下列条件至少成立一个:
(i)D<p以及k=2;
表达式
则由引理3可知
表达式
不可能是p-1次幂的常数倍。再由引理1可得
公式6
现在结合式(2)～(6)立得
表达式
这就证明了定理1。
接下来证明推论1。根据定理1,有
表达式
此外由文献[19]中的167页可知,对所有素数p≥5都满足
表达式
设p>max{e23k,(kD)27}。容易证明
表达式
上式成立,从而证明了推论1。
4、定理2的证明
现在证明定理2。首先考虑特殊情形B=,此时A不为空集。记A={a1,…,as},则有
公式7
容易证明
公式8
另一方面,设ψ为模p的特征群的生成元,可得
表达式
由引理3可知
表达式
不可能是p-1次幂的常数倍。再由引理2可得
公式9
现在考虑一般的B。记
表达式
可得
公式10
再由式(8),有
公式11
另一方面,由式(9)可得
公式12
因此,
公式13
此外还有
公式14
结合式(13)和(14)立即可得
公式15
定理2证毕。
参考文献：
[6]张国佗,刘华宁.关于整数的非负最小剩余与Fermat商的差[J].陕西师范大学学报(自然科学版),2017,45(04):11-13.
[7]王辉,胡志兴,高丽.关于模n的原根的分布及推广[J].西北大学学报(自然科学版),1997,27(3):190-194.
[8]王辉,高丽,胡志兴.关于模q的原根中D.H.Lehmer数与逆的差的分布[J].西北大学学报(自然科学版),1996,26(4):281-284.
[16]祁兰,张文鹏.关于Golomb猜想的一般化[J].西北大学学报(自然科学版),2015,45(2):199-206.
[20]张文鹏.关于模p的一类同余方程解的个数[J].西北大学学报(自然科学版),2016,46(3):313-316.
刘华宁,景梦谣.关于连续原根的分布[J].西北大学学报(自然科学版),2019,49(05):711-715.
基金:国家自然科学基金资助项目(11571277);陕西省工业科技攻关项目(2016GY-077,2016GY-080)
分享：
2008年应用Kuromoto-like模型对电网进行了深入的研究,同时得到了有效的电网动力学模型,并且得出:电网必须保持同步,很小的扰动会引起级联故障,导致大规模停电事故发生,这就表明电网的控制尤为重要.本文中,笔者基于反馈控制的思想,实现了对电网同步能力的改变,分析了反馈增益的取值对同步能力的影响.
2020-09-09
1、数论函数方程φ(φ(n))=S(n15)的可解性2、一个含有伪Smarandache函数的方程3、10的倍数分拆素数和的“1-9猜想”及思考4、有关数论函数φ(m)的一方程整数解的讨论5、纽结理论在数论中的应用6、用易经诠释考拉兹猜想7、数论函数方程φ2(n)=S(SL(nk))的可解性8、大学生就业当中的数学原理及其应用9、含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解
2020-08-11
纽结理论看似与数论[1]毫不相干，但已有不少纽结方面的结果是用数论来表达的，例如文献[2]。本文将给出反向的情形，即利用纽结理论证明数论的2个结果： 定理1若m,n是互素的整数，则24整除(m2-1)(n2-1)。 定理2若m,n是互素的整数，则12整除(m-1)(n-1)(2mn-m-n-1)。 容易举例说明，若m,n不是互素，则定理就不成立。
2020-08-10
素数的判定算法是对输入的整数判定是素数还是合数，分为概率算法和确定算法。素数构造算法是输入小素数，经过若干次循环构造出大的素数。对已有的素数构造和判定算法进行梳理，给出算法的描述并编程实现Miller-Rabin素数测试算法、基于莱梅定理的素数构造算法、AKS素数测试算法及变体算法，对上述算法的效率进行比较。
2020-06-28
对于某些特殊的数学问题,即使只是简单地回答“知道”或者“不知道”,也有可能传送出一些有用的信息。考官C从区间[2,99]中选出两个整数n和m,将这两个数的和p=n+m与积q=n×m的数值分别告诉参加测试的智者B与智者A。C要求B与A说出n与m是多少,但不能将自己知道的p与q的值告诉对方。
2020-06-28
哥德巴赫猜想:任何大于4的偶数都可以用2个素数之和表示.本文对根据增殖算法得到的素数分布规律进行了深入的探讨,并在此基础上创建了素数周期循环分布表,计算出两个相邻素数的最大间隙不超过420,找出了105个位缺带对称群,并用位缺带全方位多重对称性证明了哥德巴赫猜想.
2020-06-28
文献[1,2]分别介绍了分解因子法与递归序列法在不定方程中的应用,本文介绍另一种初等方法——幂比较法,在不定方程中的应用.所谓幂比较法,是指在不定方程两边比较某因数的最高方幂,以此来导致矛盾的方法.本文利用幂比较法证明了以下定理1和定理2,并同时得到推论1、推论2和推论3.
2020-06-28
本文将研究包含了伪Smarandache函数Z(n)、简数根函数与p次幂原数函数Sp(n)的复合数论函数方程Z(n)=Sp(sim(n))(其中p=2,3,5)的可解性,并分别给出每个方程的全部解.并推广了一个关于计算p次幂原数函数Sp(n)值在n>p时,更加简易的计算公式以及证明该公式所用的方法.
2020-06-28
初等数论是小学教育专业的一门专业必修课，这门课程与中小学的联系比较紧密，学生开始学习第一章(整数的可除性)时，都觉得简单易懂，但从第二章(不定方程)开始，大部分学生就感觉上课基本能听懂，但一做练习就错，其实出现这种现象的原因就是学生没有真正理解初等数论中的数学思想方法。所以，研究初等数论的教学方法是数论教师必须要研究的一项重要课题。
2020-06-28
整数是数学研究的一个方向。组合数学中就有关于正整数在不同分部量下分拆数的研究。对于一个给定的不定方程(或方程组),它是否有解,如果有解,解是不是唯一的,能不能求出它的所有解,这是数论的一个研究方向。对每一个有基础解的方程,求解得出它的基础解,由这些基础解可以计算得到方程的多个整数解。
2020-06-28
人气：6027
人气：3169
人气：3022
人气：2628
人气：2542
我要评论
期刊名称：数学的实践与认识
期刊人气：2783
主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0984
国内刊号：11-2018/O1
邮发代号：2-809
创刊时间：1971年
发行周期：半月刊
期刊开本：16开
见刊时间：1年以上
影响因子：0.553
影响因子：0.322
影响因子：0.352
影响因子：0.000
影响因子：0.000
科普杂志阅读、期刊信息查询、论文下载、文献查询、原创文章检测等多项服务。
服务热线
您的论文已提交，我们会尽快联系您，请耐心等待！
你的密码已发送到您的邮箱，请查看！
2020-06-28
417
上传者：管理员
