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研究含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解
摘要：通过运用初等和解析等技巧与方法,并结合简数根函数的特性,对含伪Smarandache函数与混合型简数根函数的两个方程Z(nk)=sim(φ(n2))与Z(nx)=sim(φ(ny))的解分别进行了研究,得到这两个数论函数方程都有且仅有一个正整数解,即n=1。
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文中涉及的三个数论函数的定义可简述为:伪Smarandache函数Z(n)[1,2],即对于任意的正整数n,有Z(n)=min{m:m∈N+,n|m(m+1)2}(其中m为最小的正整数,且使Σi=1mi能被n整除);简数根函数[3,4],即sim(n)(n∈N+);Euler函数,即对于任意的正整数n,在序列1,2,…,n-1中与n互素的整数的个数。文献[5]探讨了初等数论的相关问题;文献[6,7]探讨了关于一类F.Smarandache函数的均值等问题;文献[8,9,10]分别探究了伪Smarandache函数Z(nx)=φ(ny),Z(n)=φ2(n)和Z(n)=φe(SL(n))的可解性。本文进而对包含伪Smarandache函数与混合型简数根函数的一类函数方程的可解性进行了探究,并发现此次探究的两个方程均有且仅有一个正整数解,即n=1。
1、相关引理
引理1[3,4]由简数定理知,
引理2[8]当n≥2时,有φ(n)<n;当n≥3时,有φ(n)<n为偶数。
引理3[10]对于素数p与k≥1,有
φ(pk)=pk-pk-1。
引理4[10]对任意素数p≥3,Z(p)=p-1。
引理5[10]对任意素数p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1。当p=2时,则有Z(2k)=2k+1-1。
引理6[10]Z(n)非加性函数,即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m),且Z(n)也非积性函数,即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。
引理7[11]若正整数n=pr11pr22…prkk,其中p1,p2,…,pk为素数,则欧拉函数
φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pk)。
2、主要结论及其证明
定理1对于任意的正整数n,k>1时,混合函数方程:
Z(nk)=sim(φ(n2))
仅有正整数解n=1。
证明对于混合函数方程
Z(nk)=sim(φ(n2))(1)
由引理2,主要分以下两种情形讨论:
情形一:当0<n2<3时,φ(n2)=φ(12)=1,此时sim(φ(n2))=sim(1)=1,而Z(nk)=Z(1k)=1,故此时式(1)有解为n=1。
情形二:当n2>3时,φ(n2)为偶数,由引理1知,此时
sim(φ(n2))={9,φ(n2)≡0(mod9)r,φ(n2)≡r(mod9)且0<r<9。
2.1.当φ(n2)≡0(mod9)时,令φ(n2)=18l(l∈N+),此时sim(φ(n2))=sim(18l)=9,即Z(nk)=9。
2.1.1当n为奇数时,由引理3—引理7,我们分为以下几种情况进行讨论:
i)n=p,且p≥3为素数,Z(pk)=pk-1=9,即pk=10与其为素数矛盾,故此时(1)无解。
ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,k≥2时,Z(pks)=pks-1=9,即pks=10(不存在),故此时(1)无解。
iii)n=p1s1p2s2…ptst,(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足nk|45的情况只有k=1,n=45。
当k=1,n=45,sim(φ(45))=sim(24)=6,与前提条件矛盾,故此时(1)无解。
2.1.2当n为偶数时,Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,即nk|45,显然不存在这样的n,使得其同时满足n为偶数且nk|45,故此时式(1)无解。
2.2.当φ(n2)≡r(mod9)且0<r<9时,令φ(n2)-r=9l(l∈N+),此时sim(φ(n2))=sim(9l+r)=r,即Z(nk)=r。
2.2.1当l为奇数时,k>1,由于r=1,即Z(nk)=1时,即n=1,归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。
当r=3,Z(nk)=3时,即nk=2,6,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。
当r=5,Z(nk)=5时,即nk=15,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。
当r=7,Z(nk)=7时,即nk=4,14,28,,又k>1,可能的取值为k=2,n=2,带入(1)式验证不符合,故此时式(1)无解。
2.2.2当l为偶数时,k>1,下面依次对r=2,4,6,8进行讨论。
当r=2,Z(nk)=2时,即nk=3,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。
当r=4,Z(nk)=4时,即nk=5,10,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。
当r=6,Z(nk)=6时,即nk=7,21,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。
当r=8,Z(nk)=8时,即nk=9,12,18,36,又k>1,可能的取值为k=2,n=3或者k=2,n=6,带入(1)式验证均不符合,故此时式(1)无解。
定理2对于任意的正整数n,x≥2,y>2时,混合函数方程:
Z(nx)=sim(φ(ny))
仅有正整数解n=1。
证明对于混合函数方程
Z(nx)=sim(φ(ny))(2)
由引理2,主要分以下两种情形讨论:
情形一:当n=1时,φ(ny)=1,此时sim(φ(ny))=
sim(1)=1,而Z(nx)=Z(1x)=1,故此时式(2)有解为n=1。
3、情形二
当n≥2时,φ(ny)为偶数,由引理1知,此时
sim(φ(ny))={9,φ(ny)≡0(mod9)r,φ(ny)≡r(mod9)且0<r<9。
3.1.当φ(ny)≡0(mod9)时,令φ(ny)=18l(l∈N+),此时sim(φ(ny))=sim(18l)=9,即Z(nx)=9。
3.1.1当n为奇数时,由引理3—引理7,我们分为以下几种情况进行讨论:
i)n=p,且p≥3为素数,Z(px)=px-1=9,即px=10与其为素数矛盾,故此时式(2)无解。
ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,Z(psx)=psx-1=9,即psx=10(不存在),故此时式(2)无解。
iii)n=p1s1p2s2…ptst(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(nx)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足nx|45,经检验故此时式(2)无解。
3.1.2当n为偶数时,Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,即nk|45,显然不存在这样的n,使得其同时满足n为偶数且nk|45,故此时式(2)无解。
3.2.当φ(ny)≡r(mod9)且0<r<9时,令φ(ny)-r=9l(l∈N+),此时sim(φ(ny))=sim(9l+r)=r,即Z(nx)=r。
3.2.1当l为奇数时,x≥2,由于r=1,即Z(nx)=1时,即n=1,归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。
当r=3,Z(nx)=3时,即nx=2,6,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。
当r=5,Z(nx)=5时,即nx=15,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。
当r=7,Z(nx)=7时,即nx=4,14,28,又x>1,可能的取值为x=2,n=2,即求sim(φ(2y))=Z(22)=7,而sim(φ(2y))=sim(2y-1)=2,4,8,故此时式(2)无解。
3.2.2当l为偶数时,x>1,下面依次对r=2,4,6,8进行讨论。
当r=2,Z(nx)=2时,即nx=3,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。
当r=4,Z(nx)=4时,即nx=5,10,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。
当r=6,Z(nx)=6时,即nx=7,21,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。
当r=8,Z(nx)=8时,即nx=9,12,18,36,又x>1,可能的取值为x=2,n=3或者x=2,n=6,下面对这两种情况分类讨论:
当x=2,n=3时,即sim(φ(3y))=Z(32)=7。而当y=1,2时,sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=2,6;当y≥3时,sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=9(与前提条件矛盾),故此时式(2)无解。
当x=2,n=6时,即sim(φ(6y))=Z(62)=7。而当y=1,2时,sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=2,4;当y≥3时,sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=9(与前提条件矛盾),故此时式(2)无解。
参考文献：
[2]张爱玲.关于伪Smarandache函数的一个方程及其正整数解[J].西北大学学报(自然科学版),2008,38(4):535-540.
[3]贾明超.简数定理证明及其应用[D].北京:中国地质大学,2011.
[4]褚宝增,贾明超.简数定理的提出与证明[J].科教导刊,2013,3(1):156-157.
[5]管训贵.初等数论[M].合肥:中国科技技术大学出版社,2011.
[6]马云真,李江华.Smarandache函数的一类均值计算[J].纯粹数学与应用数学,2017,33(4):424-429.
[7]李桥,马云真,李江华.关于F.Smarandache函数和式的均值计算[J].纯粹数学与应用数学,2018,34(3):294-300.
[8]赵祈芬,高丽.包含伪Smarandache函数与欧拉函数的两个方程[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2017,35(3):55-58.
[9]赵祈芬,高丽.数论函数方程Z(n)=φ2(n)的解[J].云南师范大学学报(自然科学版),2018,38(2):34-37.
[10]高丽,赵祈芬.一类包含伪Smarandache函数与欧拉函数的方程[J].河南科学,2017,35(2):180-183.
[11]潘承洞,潘承彪.解析数论[M].北京:北京大学出版社,1999.
张明丽,高丽,郑璐.含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解[J].延安大学学报(自然科学版),2020,39(01):5-7.
基金:国家自然科学基金资助项目(11471007);陕西省科技厅科学技术研究发展计划资助项目(2013JQ1019);延安大学校级科研计划资助项目(YD2014-05);延安大学研究生教育创新计划项目(YCX201901)
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