令φe(n)为广义Euler函数,它的值等于序列1,2,3,⋯,[ne]中与n互素的数的个数.关于函数φe(n)有不少的研究成果(如文献[1,2,3]).令S(n)为Smarandache函数,它的值定义为

S(n)=min{m:m∈Z+,n|m!}

其中Z+为正整数集合.关于函数S(n)有不少的研究内容(如文献[4,5]).令SL(n)为SmarandacheLCM函数,它是由函数S(n)所派生出来的,它的值定义为SL(n)=min{k∈Z+:n|[1,2,…,k]}.对函数SL(n)同样也有着不少研究内容(如文献[6,7]).近些年来,对有关广义Euler函数φ2(n)、Smarandache函数S(n)与SmarandacheLCM函数SL(n)三者混合的数论函数方程

φ2(n)=S(SL(nk))         (1)

的可解性问题有着不少的研究成果.文献[8]讨论了方程(1)中当k=1时方程的可解性;文献[9]讨论了方程(1)中当k=2时方程的可解性;文献[10]讨论了方程(1)中当k=3,4时方程的可解性;文献[11]讨论了方程(1)中当k=5,6时方程的可解性;文献[12]讨论了方程(1)中当k=9,10时方程的可解性;文献[13]讨论了方程(1)中当k=11,12时方程的可解性.本文将讨论方程(1)中当k=15,17时方程的可解性,利用初等的方法确定其正整数解的情况.

引理1[14]当n≥3时,有φ2(n)=2-1φ(n).

引理2[15]如果n=qβ11qβ22…qβkk是正整数n的标准分解式,则

S(n)=max{S(qβ11),S(qβ22),⋯,S(qβkk)}SL(n)=max{qβ11,qβ22,⋯,qβkk}

引理3[16]对于素数p和正整数k,有S(pk)≤kp;特别地,当k<p时,有S(pk)=kp.

引理4[17]当n>2时,必有2|φ(n).

定理1数论函数方程

φ2(n)=S(SL(n15))         (2)

有正整数解n=280,352,448,576,625,1250,3721,7742.

证显然n=1,2不是方程(2)的正整数解.此时可设n=qβ11qβ22…qβkk≥3是正整数n的标准分解式,由引理2有

SL(n15)=max{q15β11,q15β22,⋯,q15βkk}=q15β         (3)

其中q是n的素因子,且β是q在n的标准分解式中的指数.根据引理1有

φ2(n)=12φ(n)=12φ(qβ)φ(nqβ)=12qβ−1(q−1)φ(m)

其中n=qβm,且(q,m)=1.再由方程(2)有

qβ−1(q−1)φ(m)=2S(q15β)         (4)

由引理3,有

30qβ≥2S(q15β)=qβ−1(q−1)φ(m)≥qβ−1(q−1)

即

30β≥qβ−2(q−1)         (5)

情况1当β=1时,(4)式为(q-1)φ(m)=2S(q15).若q=2,则有φ(m)=2S(215)=2×16=32,因此m=51,64,68,80,96,102,120.由于(q,m)=1,则m=51,则n=2m=102,但这n值均不满足(3)式,则此时方程(2)无解.若q=3,则有2φ(m)=2S(315)=2×33,则φ(m)=33,由引理4可知此时方程(2)无解.经计算可得,当q=5,7,11,13时有φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.若q≥17,则有(q-1)φ(m)=30q,则(q-1)|30,由于q为素数,从而q=31,则φ(m)=31,由引理4可知此时方程(2)无解.

情况2当β=2时,(4)式为q(q-1)φ(m)=2S(q30).若q=2,则有2φ(m)=2S(230)=2×32,因此φ(m)=32,有m=51,64,68,80,96,102,120.由于(q,m)=1,则m=51,则n=22×m=102,此时n值均不满足(3)式,则此时方程(2)无解.若q=3,则有6φ(m)=2S(330)=2×63,因此φ(m)=21,由引理4可知此时方程(2)无解.经计算可得,当q=5,11,13,17,19,23,29时有φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.而当q=7时,有42φ(m)=2S(730)=2×189,因此φ(m)=9,由引理4可知此时方程(2)无解.若q≥31,则有60q=2S(q30)=q(q-1)φ(m),即有60=(q-1)φ(m),再由于q为素数,从而q=61,则φ(m)=1,则m=1,2,则n=612×m=3721,7742,这些n值均满足(3)式,则此时方程(2)有整数解n=3721,7742.

情况3当β=3时,(4)式为q2(q-1)φ(m)=2S(q45),且(5)式为90≥q(q-1),从而q=2,3,5,7.若q=2,则有4φ(m)=2S(245)=2×48,因此φ(m)=24,则m=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.由于(q,m)=1,则m=35,39,45,因此n=23×m=280,312,360,此时n值n=280满足(3)式,则此时方程(2)有正整数解n=280.经计算可得,当q=3,5,7时有φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况4当β=4时,(4)式为q3(q-1)φ(m)=2S(q60),且(5)式为120≥q2(q-1),从而q=2,3,5.若q=2,则有8φ(m)=2S(260)=2×64,因此φ(m)=16,则m=17,32,34,40,48,60.由于(q,m)=1,则m=17,因此n=24×17=272,此时n值不满足(3)式,则此时方程(2)无解.若q=3,则有54φ(m)=2S(360)=2×126,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.若q=5,则有500φ(m)=2S(560)=2×250,因此φ(m)=1,则m=1,2,则n=625,1250,但这些n值均满足(3)式,则此时方程(2)有正整数解n=625,1250.

情况5当β=5时,(4)式为q4(q-1)φ(m)=2S(q75),且(5)式为150≥q3(q-1),从而q=2,3.若q=2,则有16φ(m)=2S(275)=2×80,因此φ(m)=10,则m=11,22,由于(q,m)=1,则m=11,则n=25×11=352,此时n值满足(3)式,则此时方程(2)有正整数解n=352.若q=3,则有162φ(m)=2S(375)=2×156,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况6当β=6时,(4)式为q5(q-1)φ(m)=2S(q90),且(5)式为180≥q4(q-1),从而q=2,3.若q=2,则有32φ(m)=2S(290)=2×96,因此φ(m)=6,则m=7,9,14,18.由于(q,m)=1,则m=7,9,因此n=448,576,此时n值满足(3)式,则此时方程(2)有正整数解n=448,576.若q=3,则有486φ(m)=2S(390)=2×186,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况7当β=7时,(4)式为q6(q-1)φ(m)=2S(q105),且(5)式为210≥q5(q-1),从而q=2,则有64φ(m)=2S(2105)=2×110,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况8当β=8时,(4)式为q7(q-1)φ(m)=2S(q120),且(5)式为240≥q6(q-1),从而q=2,则有128φ(m)=2S(2120)=2×126,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况9当β=9时,(4)式为q8(q-1)φ(m)=2S(q135),且(5)式为270≥q7(q-1),从而q=2,则有256φ(m)=2S(2135)=2×138,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况10当β=10时,(4)式为q9(q-1)φ(m)=2S(q150),且(5)式为300≥q8(q-1),从而q=2,则有512φ(m)=2S(2150)=2×154,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(2)无解.

情况11当β≥11时,有2β-2>30β,则30qβ≥qβ-1(q-1)不成立,则此时方程(2)无解.

结合以上推理可得,数论函数方程(2)只有正整数解n=280,352,448,576,625,1250,3721,7742.定理1证毕.

定理2数论函数方程

φ2(n)=S(SL(n17))         (6)

有正整数解n=315,351,504,539,630,702,756,1078.

证显然n=1,2不是方程(6)的正整数解.此时可设n=qβ11qβ22…qβkk≥3是正整数n的标准分解式,由引理2有

SL(n17)=max{q17β11,q17β22,⋯,q17βkk}=q17β         (7)

其中q是n的素因子,且β是q在n的标准分解式中的指数.根据引理1有

φ2(n)=12φ(n)=12φ(qβ)φ(nqβ)=12qβ−1(q−1)φ(m)

其中n=qβm,且(q,m)=1.再由方程(6)有

qβ−1(q−1)φ(m)=2S(q17β)         (8)

由引理3,有

34qβ≥2S(q17β)=qβ−1(q−1)φ(m)≥qβ−1(q−1)

即

34β≥qβ−2(q−1)         (9)

情况1当β=1时,(8)式为(q-1)φ(m)=2S(q17).若q=2,则有φ(m)=2S(217)=2×20=40,因此m=41,55,75,82,88,100,110,132,150.由于(q,m)=1,则m=41,55,75,则n=2m=82,110,150,但这些n值均不满足(7)式,则此时方程(6)无解.若q=3,则有2φ(m)=2S(317)=2×36,因此φ(m)=36,则m=37,57,63,74,76,108,114,126.由于(q,m)=1,则m=37,74,76,因此n=3m=111,222,228,但这些n值均不满足(7)式,则此时方程(6)无解.经计算可得,当q=5,7,11,13,17时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.若q≥19,则有(q-1)φ(m)=34q,则有(q-1)|34,再由于q为素数,则此时方程(6)无解.

情况2当β=2时,(8)式为q(q-1)φ(m)=2S(q34).若q=2,则有2φ(m)=2S(234)=2×36,因此φ(m)=36,则m=37,57,63,74,76,108,114,126.由于(q,m)=1,则m=37,57,63,因此n=22×m=148,228,252.但这些n值均不满足(7)式,则此时方程(6)无解.若q=3,则有6φ(m)=2S(334)=2×72,因此φ(m)=24,则m=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.由于(q,m)=1,则m=35,52,56,70,则n=32×m=315,468,504,630,这些n值中n=315,504,630满足(7)式,则此时方程(6)有正整数解n=315,504,630.若q=5,则有20φ(m)=2S(534)=2×140,则φ(m)=14,而14为非Euler商数,则此时方程(6)无解.若q=7,则有42φ(m)=2S(734)=2×210,则φ(m)=10,则m=11,22,进而n=72×m=539,1078,这些n值均满足(7)式,则此时方程(6)有正整数解n=539,1078.经计算可得,当q=11,13,17,19,29,31时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.而当q=23时,有506φ(m)=2S(2334)=2×759,则φ(m)=3,由引理4可知此时方程(6)无解.若q≥37,则有68q=2S(q34)=q(q-1)φ(m),即有68=(q-1)φ(m),再由于q为素数,则此时方程(6)无解.

情况3当β=3时,(8)式为q2(q-1)φ(m)=2S(q51),且(9)式为102≥q(q-1),从此q=2,3,5,7.若q=2,则有4φ(m)=2S(251)=2×56,则φ(m)=28,则m=29,58.由于(q,m)=1,则m=29,则n=23×29=232,此时n值不满足(7)式,则此时方程(6)无解.若q=3,则有18φ(m)=2S(351)=2×108,则φ(m)=12,则m=13,21,26,28,36,42.由于(q,m)=1,则m=13,26,28,则n=33×13=351,n=33×26=702,n=33×28=756,这些n值均满足(7)式,则此时方程(6)有整数解n=351,702,756.经计算可得,当q=5,7时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况4当β=4时,(8)式为q3(q-1)φ(m)=2S(q68),且(9)式为136≥q2(q-1),从而q=2,3,5.若q=2,则有8φ(m)=2S(268)=2×72,则φ(m)=18,则m=19,27,38,54.由于(q,m)=1,则m=19,27,因此n=24×19=304,n=24×33=432,但这些n值均不满足(7)式,则此时方程(6)无解.经计算可得,当q=3,5时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况5当β=5时,(8)式为q4(q-1)φ(m)=2S(q85),且(9)式为170≥q3(q-1),从而q=2,3.若q=2,则有16φ(m)=2S(285)=2×88,则φ(m)=11,由引理4可知此时方程(6)无解.若q=3,则有162φ(m)=2S(385)=2×174,得φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况6当β=6时,(8)式为q5(q-1)φ(m)=2S(q102),且(9)式为204≥q4(q-1),从而q=2,3.经计算可得,当q=2,3时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况7当β=7时,(8)式为q6(q-1)φ(m)=2S(q119),且(9)式为238≥q5(q-1),从而q=2,则有64φ(m)=2S(2119)=2×124,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况8当β=8时,(8)式为q7(q-1)φ(m)=2S(q136),且(9)式为272≥q6(q-1),从而q=2,则有128φ(m)=2S(2136)=2×140,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况9当β=9时,(8)式为q8(q-1)φ(m)=2S(q153),且(9)式为306≥q7(q-1),从而q=2,则有256φ(m)=2S(2153)=2×158,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况10当β=10时,(8)式为q9(q-1)φ(m)=2S(q170),且(9)式为340≥q8(q-1),从而q=2,则有512φ(m)=2S(2170)=2×176,此时φ(m)∉Z+,则此时方程(6)无解.

情况11当β≥11时,有2β-2>34β,则34qβ≥qβ-1(q-1)不可能成立,则此时方程(6)无解.

结合以上推理可得,数论函数方程(6)只有正整数解n=315,351,504,539,630,702,756,1078.定理2证毕.

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基金:新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2017D01A13)