2018年底,像往年一样,美国数学会(MAA)在其网站上贴出了它认为的本年度数学界热门事件,这次它列出了包括“聚焦数学学科中的女性”在内的十二件数学事件,很大程度上给2018年数学界的大事要事作了一个总结。有一件事件差点就成为了2018年度MAA的热门数学事件,那就是黎曼猜想的证明。9月24日,在德国举办的2018年度海德堡获奖者论坛上,菲尔兹奖和阿贝尔奖得主阿蒂亚(MichaelAtiyah)用45分钟的时间介绍了他对有着160年历史的黎曼猜想的证明。但遗憾的是,目前数学界对之的主流观点是,阿蒂亚的证明是错误的。

数学猜想是数学发展一个不可或缺的成分,没有数学猜想就没有数学定理(法则、公式),当然也就没有数学。从这个角度看,可以认为数学猜想是数学的起始。数学发展史上,有过无数个数学猜想,这些猜想中的很多在提出后很快就被数学家证明或否证,但有一些猜想的证明往往花费数学家数十年甚至数百年的时间,这些猜想也就成了著名的猜想(本文所涉及的猜想就是指这些著名的猜想)。数学家们在证明数学猜想特别是著名数学猜想的过程中,很大程度上也在推动着数学的发展。为了证明这些著名的猜想,数学家们前赴后继,一些数学家甚至无果地花费了一生的时间。在一个尚未得出证明的著名猜想周围,都会有一批在为证明该猜想而殚精竭虑的数学家。证明著名的数学猜想成为了数学界一道特别甚至有时是悲壮的风景。

实际上,在阿蒂亚对黎曼猜想的证明之前,有不少数学家都声称自己证明了该猜想。例如,2015年尼日利亚教授伊诺克(OpeyemiEnoch)就提出了自己对黎曼猜想的证明。甚至在阿蒂亚的证明之后,也有数学家认为自己证明了该猜想。所有这些对于黎曼猜想证明的声称都没有被数学界认可,正是因为它们在证明过程中发生了严重的错误。一个很自然的问题是:黎曼猜想什么时候会被证明出来呢?

一个数学猜想什么时候能被证明出来,这似乎是一个无法回答的问题。费马大定理在其猜想提出后三百五十多年才被证明出来,而在怀尔斯(AndrewWiles)宣布该猜想的证明之前,数学界并不清楚什么时候会证出费马大定理。尽管这个问题难以回答,但确实有人想给这个问题一个答案,即使这个答案不太准确,不过所针对的是和黎曼猜想同样著名的P/NP问题(这两个猜想都是美国克雷数学研究所于2000年公布的七个千禧年大奖难题之一)。P/NP是计算机理论和算法方面的重大问题,它的解决将有助于人们对计算的复杂性有更深入的了解,其中的P是代表求解时间与N的多项式成正比的问题的集合,而NP是指其解可以在多项式时间内被验证的问题集合,因此,P/NP问题是:如果一个问题的解可以在多项式时间内被验证,那么是否可以在多项式时间内找到这个解。2010年12月27日,两位学者在《新科学家》(NewScientist)上运用数学方法,通过对历史上18个数学问题解决时间的考察,得到了P/NP问题将在2024年得到解决的可能性大约是50%。2013年,另外两位学者为了得到更为准确的对P/NP问题解决的时间,他们对160个已经解决和没有解决的数学猜想进行了考察,也是用数学方法,他们得到的结果是,该猜想在2024年得到解决的可能性是41.3%。[1]这些学者寻求数学猜想解决时间的做法是否合理以及所得到的结果是否有意义先不探讨,但最起码,它反映了人们希望这个著名数学猜想早日能够得到证明的良好愿望。

本文主要探讨的问题是:影响一个数学猜想被证明的主要因素是什么?回答了这个问题实际上也就回答了标题中的问题。以下首先对数学中的证明进行一些说明,并由此引出影响数学猜想证明的两个主要因素,接着对这两个主要因素进行分析,最后回答标题中所提出的问题。

一、对数学证明的理解

数学证明在数学发展中扮演着一个非常重要的角色,它是数学命题正确性的保证。由于数学命题构成了一个数学分支的主要成分,因而数学证明最大程度上确保了数学的正确并进而健康发展。

和很多学科中的证明不同,数学中的证明采用的是演绎的方式,即由条件出发,根据演绎规则,从而得到结论。正是这种演绎的方式,确保了真值从条件向结论的传递。数学家的主要工作其实就是证明。中学和大学数学中的证明虽然和数学家所进行的证明从形式上看并没有差别,但难度和复杂程度是不可比的。首先看难度,大中学生的证明一般来说方法是已知的,如不等式的证明教师会总结出几种方法像比差法等,在证明时学生运用这些方法就可以完成证明。但对于数学家来说,他们所面临的往往并没有现成的方法,这与当前数学教育界所提倡的问题解决有一定的相似性。数学家要想证明某个猜想,他必须创造出新的方法或创造性地使用已有的方法,数学家的创造性由此可以看出。再看复杂程度。这也可以将数学家的证明和大中学生的数学证明相对比。大中学生的数学证明一般来说篇幅较短,通常不会超过一页纸,更多的只是几个三断论就可以完成。相比之下,数学家所进行的证明要复杂的多。传统的数学证明一般在十个印刷页左右,但如果你翻开近年来一些数学期刊,特别是一些一流的数学期刊(如《数学评论》),就会发现,很多数学证明是相当长的,五十个左右印刷页的篇幅都很平常,有些甚至超过一百个印刷页。例如,怀尔斯证明的费马大定理就超过了一百页。证明的篇幅越长,就意味着证明过程越复杂。可以想象,在这数十甚至上百印刷页的证明中,数学家运用演绎的方法在数量惊人的命题之间构筑了一个怎样复杂的逻辑通道,在这个复杂程度难以想象的证明过程中,它需要的是数学家极度高超的智力。爱因斯坦的名句“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”如果用在著名数学猜想的提出与证明上似乎可以改成“证明一个猜想远比提出一个猜想困难”,因为一些著名数学猜想的提出并不困难,但要进行证明就太难了。

传统的人工逻辑演绎证明方式形成于古希腊,欧几里得的《几何原本》中命题的证明已经采用了这种方式并逐步成为数学证明的唯一合法方式。到目前为止,这种方式虽然仍是数学证明公认的合法方式,但情况在当代发生了一些改变,这就是机器证明的出现,而标志性的机器证明是对四色定理的证明。四色定理的猜想是1852年提出了,一百多年来,很多数学家都试图用传统的人工逻辑演绎的方法对它进行证明,其中不乏一些大数学家的努力,但都以失败而告结束。1976年,两个美国人在两台不同的计算机上花了1200小时,作了100亿次判断,最终证明了四色定理。这个用计算机进行的数学证明也得到了主流数学界的认可。从那以后,计算机数学证明已经有了较大的发展。由于计算机证明依靠的是编制的计算机程序,借助于计算机的高速运行进行计算、判断甚至推理,因而,认可用计算机进行数学证明,也就意味着传统的对于数学证明的理解有了改变,人工逻辑演绎不再是唯一的证明方式了。尽管如此,到目前为止,计算机证明只是处于初步发展阶段,而传统的人工逻辑演绎仍然是数学家证明的主要方式。显然,本文题目中“证明”一词指的是运用传统的人工逻辑演绎方式所进行的证明。

数学家的证明很像一个人在走一种特别的迷宫。数学家在走这个迷宫时从入口进入,该入口相当于要证明猜想的条件,最终要从出口走出,而迷宫的出口相当于猜想的结论。一般来说,数学家在证明的时候通过一些方法的检验(特别是用计算机进行的特例检验)已经非常确信其结论是正确的,这也就相当于走迷宫的人知道迷宫的出口是肯定有的。走迷宫的人要从入口走到出口需要有两个条件,其一是确实有从入口到出口的路,其二是这个人必须相当的聪明。这两个条件缺一不可,如果这个人不够聪明,即使有从入口到出口的路,他也不可能找到。如果这个人虽然聪明,但实际上入口到出口的路并不存在,他也决不会走出迷宫。就数学证明来说,这两个条件就是,要证明一个猜想,一是要数学发展已经为证明该猜想提供了必要的条件,二是要有一个具有证明该猜想能力的数学家。

二、对影响数学猜想证明的两个重要因素的分析

1.必要的数学进展

费马大定理的证明来自于费马在他的丢番图的《算术》上的页边注,费马所写的注是:“关于此,我已经发现了一种确实美妙的证明,可惜这里页边空白的地方太小,写不下”。也就是说,费马在阅读到费马大定理时,已经想到了他所声称的“美妙”的证明。这可不可能呢?现在一般认为,这是不可能的!不可能的原因就是费马那个时候缺少证明该猜想所需要的知识和方法,而这些知识和方法对于费马大定理的证明来说是必要的!

一个时代数学家能够提出某个数学猜想并不意味着这个时代的数学家能够证明这个猜想。猜想可以通过对个别具体例子的观察而提出,其表达可能是非常简单的,但对猜想的证明可能要涉及到当时的数学所不具备的一些知识和方法,这些知识和方法甚至可能要随着数学的发展在很久以后才能出现。还是先看费马大定理的证明。怀尔斯在证明过程中运用到大量的知识和方法,包括诸如椭圆曲线、伽罗瓦群论、岩泽理论、伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想、塞尔默群、泰特-沙法列维奇群、模函数、弗雷曲线、里贝特的工作、谷山-志村猜想以及科利瓦金-弗莱切方法等等,这些知识和方法多是19、20世纪产生的,更多的是20世纪数学发展的产物,例如谷山-志村猜想是20世纪50年代出现的,伯奇猜想是20世纪60年代才有的,弗雷曲线是德国数学家弗雷(GerhardFrey)在1985年的工作,而1986年美国数学家里贝特(KennethRibet)利用弗雷曲线,证明了费马问题的任何解会与谷山-志村猜想矛盾。正是由于这些知识和方法的出现,从而使得怀尔斯具备了证明费马大定理所需要的知识和方法,也就使得证明成为可能。试想一下,如果数学的发展没有产生这些知识和方法,那么,可以肯定的是,费马大定理到现在将仍然是一个猜想。还可以看一下另一个著名的猜想哥德巴赫猜想。近几十年来,对它的证明一直都没有实质的进展,我国数学家陈景润的证明仍然是最好的结果,而产生这种结果的重要原因之一应该就是数学的发展还没有产生证明所需要的知识和方法。相关的知识和方法一旦产生,对它的证明可能几年内就会完成,如果一直没有出现的话,那么它可能就将一直持续猜想的状态。

运用基切尔(PhilipKitcher)的数学活动理论也可以对数学的进展导致数学猜想的证明进行说明。基切尔认为数学活动包括五个因素即语言、元数学的观点、所接受的问题的集合、所接受的论证的集合和所接受的命题的集合。在数学发展的任何阶段,都会有确定的数学语言,数学家都会有确定的元数学观点,数学研究领域都会有所接受的问题,也会认同特定的数学论证方式以及有着被接受的命题。[2]在数学发展的某个阶段,当某个数学猜想成为所数学某领域研究共同体所接受的问题,有了为该数学猜想的证明提供了所需要的命题和论证的方式,那么该猜想的证明就有了可能。相反地,如果在数学发展的某个阶段,某个数学猜想不被数学共同体所认可,或者数学自身不具备进行数学猜想证明所必要的命题和论证方式,那么这样的猜想就不可能被证明出来。

2.合适的数学家

每个完成了的数学猜想的证明总是与一位数学家的名字联系在一起,如费马大定理的证明与怀尔斯以及庞加莱猜想的证明与佩雷尔曼(ГригорийЯковлевичПерельман)等(值得注意的是,虽然越来越多的数学证明涉及到不同数学家的合作,但到目前为止,重要数学猜想的证明大多仍然是个体数学家的工作)。但对于一个数学猜想来说,不是每个数学家都是证明它的可能人选。

数学分支是繁多的,不同的数学家一般来说属于确定的分支,不同分支的数学家在很多情况下的交流实际上并不容易。这样,能够证明某个数学猜想的数学家只能是该猜想所属分支的数学家,而不是任意一个数学家都能够证明的,研究其它分支的数学家对该猜想一般不会太感兴趣甚至不清楚该猜想说的是什么。例如,哥德巴赫猜想属于数论,对该猜想的证明感兴趣并可能试图去证明它的只能是研究数论的数学家们。庞加莱猜想属于拓扑学,研究数论的数学家甚至不清楚该猜想的表述。

数学家一般会选择感兴趣的问题去解决。即使是与某个猜想同分支的数学家也未必就对该猜想感兴趣并可能试图去进行证明。在任一数学分支中,数学家们往往都会面临着很多需要解决的问题(这也正是一个数学分支发展的根据所在),而不同的数学家可能会对不同的问题感兴趣。这样,对于某个特定的数学猜想来说,一般只有这个分支中的一部分数学家对它感兴趣以至于去对它进行证明。有时候,数学家们也会因为其它原因而放弃某些即使对他们来说是有趣的问题。例如,费马大定理在几乎整个20世纪由于在证明上没有新的进展,因此对绝大多数数论研究者来说就变成了一个不再令人感兴趣的话题,这种状况一直到20世纪的末期。还有一种情况是,在数学的某个研究领域出现了一个或数个大神,以至于本来在这个领域进行研究的数学家纷纷转向其它的研究问题,因为他们感到无法与大神们进行竞争,即使他们本来对该领域的研究感兴趣。例如,叶状结构理论曾经是几何拓扑、动力系统和微分方程的中心,吸引了众多的研究者对之进行研究,包括著名的数学家瑟斯顿(WilliamThurson)。瑟斯顿的研究非常出色,他证明了叶状结构的分类定理,对一个含有叶状结构的流形给出一个充要条件,还证明了其它一些很重要的定理,发表了不少让人惊叹的论文。[3]他在该领域成果之丰富和影响力之大,以至于很多该领域的研究者纷纷撤离,因为他们觉得无法和瑟斯顿竞争。当然,这种情况对于数学研究来说不是什么好事。

既对某个数学猜想有兴趣,并且自认为能够证明该猜想的数学家就会将证明该猜想作为自己要解决的问题。要证明一个著名的数学猜想,对数学家能力的要求是相当高的。因此,可能会出现这样的情况:在全世界范围内只有屈指可数的一些人在证明某个猜想。甚至会出现这样的情况:在某个研究领域内,大家会公认某个人或某几个人是最有可能证明出某个猜想的数学家。证明某个著名猜想对于数学家来说,在某种程度上是一种冒险。因为数学史上为了解决某个数学问题而花费一生时间但是无果的例子并不鲜见。由于著名数学猜想的证明必定是难度极大,因此,确定要进行证明的数学家往往会准备牺牲自己很长的时间专心去做这项工作。例如,怀尔斯为费马大定理的证明就准备了十年时间,为了做到专心,除了其夫人外,他甚至没有将这件事告诉其它任何人。

瑟斯顿将数学猜想的证明比作为踢足球。虽然最终只有一个或二个队员踢进球,但其它队员也是很重要的。瑟斯顿的这个将证明一个重要的数学猜想比作一场足球赛是有一定道理的,即虽然数学猜想的证明是由个别数学家完成的,但其它数学家的相关工作也是不可缺少的。但是,最终给出猜想证明的数学家具有其它数学家所不具有的能力也是不可否认的。没有最终射门的球员,整个足球队可能一直都是在传球的过程中。以费马大定理的证明为例。从历史上看,试图证明该猜想的数学家也有不少,费马自身证明了n=3和4时的情况,欧拉不但进行了大量的努力而且还具体地写出了n=3时的证明过程,后面的数学家还有拉梅(LameGabriel)和库尔默(Kummer)等,尤其是库尔默更是解决了许多具体的情形。而在当代,进行费马猜想证明的数学家也远不止怀尔斯一个人。历史上证明费马定理不成功的重要原因自然是缺少证明所需要的知识和方法,而在1986年之后,由于所需要的知识和方法实际上都已经具备,数学家的能力对于猜想的证明来说就至关重要了。怀尔斯证明了费马大定理,虽然不能简单地说怀尔斯比历史上试图证明该猜想的数学家(如费马)能力都强,但起码能够说明在当代(更准确地说是在1986年后),和哪些试图证明该猜想的数学家相比,他的能力更强。

以上分析说明了一个重要数学猜想是否能在某个时间被证出,取决于数学的发展是否提供了证明该猜想所必须的知识和方法以及是否有合适的数学家,只有这两个条件同时满足,猜想才能被证出。就像数学中平面坐标系上有两条曲线,一条是各个时期数学发展是否提供证明该猜想所必须的知识和方法,另一条是各个时期证明某个数学猜想合适的数学家,如果这两条曲线在某一点相交了,该猜想就将会被证明出来,否则猜想就不可能得到证明。在近代数学史上,任何时候都有数学家在证明一些重要的数学猜想或解决困难的数学问题,有些被数学家解决了,有些则在以后被数学家解决。其实,被数学家解决了,既说明该数学家的能力,也说明了数学发展提供了必要的知识和方法,而没有被数学家解决,既可能是这个时候没有出现合适的数学家,也可能是解决该问题所需要的知识和方法不具备。怀尔斯在一次接受采访时谈到费马大定理的证明时说过:“在数学史上确实有一个太大的缺口,你不得不再等待几百年等待一些恰当的东西到位,你从来不能断定是否这些问题在你的时代是可以理解的。”[4]怀尔斯这里所说的一些“恰当的东西”自然是指证明费马大定理所需要的知识和方法,他认为只有这些所需要的知识和方法到位了,才能证明出费马大定理,而这些“东西”的到位,对于费马大定理的证明来说,竟然用了350年的时间!但怀尔斯在这里只说了证明猜想所必须的知识和方法,而没有提到合适的数学家。试想,如果没有怀尔斯的话,是不是在知识方法具备的情况下数年内费马大定理就能被证明出来呢?恐怕未必!费马大定理的证明可能不得不等待下一个合适的怀尔斯出现。

由于一个数学猜想的证明所依赖的这两个条件缺一不可,因而就会出现这样的情况:对于在一定的时间内证明某个猜想的数学家们来说,他们是不可能完成该猜想的证明。那么,这些数学家的工作还有意义吗?回答是肯定的,虽然他们不能最终证明该猜想,但他们在努力的过程中所创造的知识和方法,不但直接或间接地有助于该猜想的最终证明,同时也促进了数学的发展。所以,可以大致地说,数学的发展是由那些证明出和没有证明出数学猜想的数学家们共同推动的。

三、黎曼猜想何时能被证明出来?

通过分析可以发现,对于一个确定的数学猜想来说,同时满足这两点并不容易,由于实际上涉及到一些不确定的因素(如是不是有合适的数学家),因而如前文所提到的运用数学方法估算出某个数学猜想何时可以证明出来可能意义并不大。

现在我们回到本文标题中的问题“黎曼猜想什么时候会被证明出来呢?”黎曼猜想是大数学家黎曼于1859年提出,是关于黎曼zeta函数ζ(s)零点分布的猜想,其中ζ(s)是级数表达式在复平面上的解析延拓,该猜想提出其所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线(临界线)上。一方面,这个猜想非常重要,其重要性要远超费马大定理和哥德巴赫猜想。另一方面,160年来许多数学家试图证明该猜想,但至今都没有成功,因而该猜想实际上成为了一座数学上的巍峨山峰。对黎曼猜想证明的努力大致上可以分成两个线路,第一个线路是单点验算,第二个线路是比例运算。在第一个线路中,数学家们运用各种不断改进的算法计算出前n个非平凡零点。这样的计算有两个方面的作用,其一是如果发现某个零点不在临界线上,那么也就证明了黎曼猜想是不正确的,而如果所算出的零点都在临界线上,那么随着零点数目的增加,数学家们对于黎曼猜想的成立就会越来越有信心。零点的计算从最初的15个已经进展到最近的10万亿个,它们都无一例外地位于临界线上。第二个线路运算出有多大比例的零点位于临界线上,目前最好的结果是临界线上的零点占所有零点的40%。但很显然,对于无穷个零点来说,第二个线路的努力似乎比第一个线路更有说服力,但遗憾的是这二者都不是真正的证明,因为要得到的结果不是多少万亿个也不是百分之多少而是全部。显然,要想证明黎曼猜想还得另辟蹊径,运用其它的知识和更有力的方法,而这些知识和方法目前是否具备还是未知数。在对黎曼猜想的过程中,许多数学家为此付出了巨大的努力,在这些数学家中包括一些著名的数学家如英国的哈代、丹麦的波尔、挪威的塞尔伯格(AtleSelberg)以及阿蒂亚等,这些数学家如果在数学知识和方法具备的情况下,是否能够证明出黎曼猜想也是未知的,尽管像哈代这样的数学家确实具有很强的数学能力,但毕竟面临的是黎曼猜想!今天有没有这样的数学家以及什么时候有这样的数学家,显然也是未知数。

这样,我们实际上已经回答了题目中的问题,即答案是不确定的!因为我们不知道今天的数学发展是否已经提供了证明黎曼猜想所需要的知识和方法,毕竟你“不能断定这些问题在你的时代是可以理解的”。如果这些所需要的知识和方法在今天不具备的话,我们也不知道随着数学的发展,它们什么时候能够出现。我们不知道当今的数学家中是否有证明黎曼猜想的合适的数学家,尽管有很多很有能力的数学家在为黎曼猜想的证明而努力。如果今天这样的数学家还没有出现,我们不知道他会在什么时候出现。如果今天证明黎曼猜想所需要的知识和方法以及数学家都不具备的话,我们只能静静地等待,等待证明所需要的知识和方法的到位,等待进行证明的合适的数学家的出现。

参考文献：

[2]郑毓信.数学哲学新论[M].南京:江苏教育出版社,1990.

[3]Thurston,W.P.数学中的证明与进展[J].数学译林,2018,37(3):245-257.

[4]Raussen,M.,Skau,C.Abel奖得主AndrewWiles爵士访谈录[J].数学译林,2017,36(2):124-139.

张晓贵.黎曼猜想什么时候会被证明出来?[J].自然辩证法通讯,2020,42(05):52-57.