霍乱是一种由霍乱弧菌引起的水源性和食源性传染病，可引起严重腹泻和脱水，如果不进行及时治疗，霍乱患者可能会在数小时内死亡[1]。霍乱传播形式多样，它可以通过人与人之间的接触直接传播，也可以通过环境(摄入被霍乱弧菌污染的食物和水)间接传播。在很多发展中国家，由于缺乏适当的环境卫生和医疗设施且无法获得安全的饮用水，霍乱仍旧存在，造成了严重的公共卫生威胁。据世界卫生组织报道，全世界每年约有130万至400万例霍乱病例，其中大约有2.1万至14.3万人死亡。

为了深入了解霍乱的传播机制和预测其发展趋势，学者们提出了很多数学模型来研究霍乱的传播动力学。最早关于霍乱的数学研究开始于Capasso和Paveri-Fontana[2]的工作，他们针对1973年在欧洲地中海地区暴发的霍乱疫情，建立了一个霍乱传播的确定性数学模型。在此基础上，之后的研究考虑了霍乱的一些典型传播特征，如免疫丧失、年龄结构以及各种控制策略等。近年来，一些研究开始用反应扩散模型来描述人的运动和空间异质性对霍乱传播的影响[3–5]。

此外，由于地理环境的差异、降雨和温度等气候因素的变化导致霍乱在一些地区呈季节性分布。例如，在非洲东部特别是维多利亚湖地区，每年的霍乱感染高峰期往往发生在雨季或季风季节[6]。为了描述霍乱流行的季节性，Code co[7]建立了一个SIB模型来研究水库对地方性霍乱持续存在的作用，并且取时间周期系数对无霍乱、流行霍乱和地方性霍乱这三种具有周期系数情况进行了数值模拟，研究发现系数的季节性变化会导致霍乱暴发的周期性模式。Posny和Wang[8]将季节性纳入到发生率函数和病原体浓度变化率函数中，在周期性环境中研究了霍乱的灭绝和持续。因此，季节性对霍乱的传播动态研究是非常重要的。

实际上，在霍乱传播过程中，空间因素和时间因素总是相互耦合的，单独用空间或时间建模都不能最好地模拟霍乱传播动态。综上所述，本文在文献[5]的工作基础上，提出了一个周期退化反应扩散霍乱模型来研究时空异质性对霍乱传播的影响。由于自然灾害等原因无法保证水的正常供应，在建模时考虑人类从同一固定的水源获取水(如水井)，从而假设霍乱弧菌的扩散系数为零。然而，这样的假设使得模型的解映射缺乏紧性，给模型全局动力学的分析带来了困难。为了克服这一困难，我们借助于Poincar´e映射正向轨道的渐近紧性，并利用单调迭代方法确立了模型唯一正周期解的全局吸引性。

本文其余部分安排如下。第1节，建立模型并给出模型的适定性。第2节，定义了模型的基本再生数R0，并研究了模型关于R0的阈值动力学。第3节，通过数值模拟分析了扩散、空间异质性和季节性对霍乱传播的影响。最后是关于研究结果的一个简要总结。

1、模型构建

假设所有个体生活在一个有界域Ω⊂Rn(n≥1)中，其具有光滑边界∂Ω。将总人口分为易感者S(x,t)和染病者I(x,t)两类。依据文献[9–10]，假设总人口H(x,t)=S(x,t)+I(x,t)满足如下的反应扩散方程

其中

在模型(1)中，ν为边界∂Ω上的单位外法向量，d>0表示人的扩散系数，r>0和µ>0分别表示人的出生率和自然死亡率，且r>µ，K(x)>0表示环境容纳量，。根据文献[11]中的定理3.1.5和定理3.1.6，可得模型(1)有一个全局吸引的正稳态解表示从到R+的所有连续函数构成的Banach空间，其中不包括0，是一个有界闭区域。因本文关注的是解的长期行为，故假设总人口处于一个稳态，即

令P(x,t)为水源中霍乱弧菌在空间位置x时间t处的浓度，K为霍乱弧菌的半饱和浓度，即使得易感者被感染的概率为50%[7]。通过考虑霍乱传播的两种机制，我们考虑如下的周期反应扩散方程模型

其中α(x,t)和β(x,t)分别表示直接传播和间接传播的传染率；b>0为染病个体的移除率，包括自然死亡率和恢复率；c(x,t)表示染病个体中霍乱弧菌的脱落率；m(x,t)为霍乱弧菌的净死亡率。此外，我们假设函数α(x,t)、β(x,t)、c(x,t)和m(x,t)都是上正的连续函数，且它们关于时间变量都是ω-周期的(ω>0)。

令，其装配着最大模范数∥·∥X且正锥记为。记

其正锥

定义

令。设T1(t,s),T2(t,s):Y→Y (t≥s)分别是以下线性系统对应的演化算子

其中∂I(x,t)/∂ν=0,x∈∂Ω,t>0。对任意的ϕ=(ϕ1,ϕ2)∈X,t≥s≥0，令T(t,s)ϕ=(T1(t,s)ϕ1,T2(t,s)ϕ2)，则T (t,s)是X上有界线性算子生成的强连续半群。

定义F=(F1,F2):[0,∞)×XH→X，即对任意的t≥0,ϕ=(ϕ1,ϕ2)∈XH，有

那么系统(2)可写成以下积分方程

其中

通常，(3)式的解称为系统(2)的温和解。类似文献[5]中引理2.1和引理2.2的证明，有下面的结论。

引理1对任意的ϕ∈XH，系统(2)存在唯一的非负解u(·,t,ϕ)∈XH，满足u(·,0,ϕ)=ϕ，并且解在[0,∞)上全局存在。此外，系统(2)的解在XH上是一致有界和最终有界的。

2、阈值动力学

为了研究系统(2)的动力学，将其在(0,0)处线性化，得到如下线性合作系统

及其对应的周期特征值问题

令{U(t,s),t≥s}是系统(4)在X上的演化算子。易见，对任意的t>s,U(t,s)在X上是强正的。为了得到系统(4)主特征值的存在性，我们做如下假设：

(H)存在，使得，其中

引理2假设(H)成立，那么U(ω,0)存在主特征值r(U(ω,0))，且系统(5)有特征值λ∗=-ln(r(U(ω,0)))/ω，其对应于特征函数φ∗∈Int(X+)。

证明我们采用文献[12]中引理3.3的证明思想，为方便起见，记

令{Hλ(t,s),t≥s}是系统∂z/∂t=a22(x,t)z+λz在Y上的演化算子，即

记

根据文献[12]中引理2.14和

不难得到

依据文献[12]，对任意的λ<η，定义

和[M12v](x,t)=a12(x,t)v(x,t)。

令，其正锥G+:={ϕ∈G:ϕ(x)≥0,∀x∈¯B(x0,r)}。我们用G表示从R到G的全体ω-周期连续函数构成的Banach空间，其上的范数为最大模范数，定义其正锥

不难看出

非空。记

定义D上的抛物算子L为

设λ0是系统

的主特征值，其对应的正特征函数记为v∗∈Int(G+)∩D。

断言1对任意的，存在，使得

1)当λ0<η，在这种情形下，令，可得

2)当λ0≥η，令，由v∗∈Int(G+)∩D，可得。此外，通过与文献[12]中引理2.10类似的讨论，可得，进而有

注意a22(·,t)在[0,ω]上连续，所以对任意的

一致有界。那么可选C>0，使得对任意的，有

根据假设(H)，可得。因此，对任意的η-1≤λ≤η，有

记

由于η-1-λ0<0，所以λ1<η。进而有，且

断言2

对任意的t>0，定义函数如下

且。令

为方便起见，记

由断言1和u0(x,t,ϕ0)的定义，可知u0(x,t,ϕ0)满足以下方程

由比较定理，可得

此外，。因此

进而由Gelfand公式有，故由文献[12]中定理2.16可推出结论。

对任意的ϕ=(ϕ1,ϕ2)∈X，定义F (t):X→X和V(t):X→X如下

令{Φ(t,s),t≥s}是系统dv(t)/dt=-V(t)v(t)在X上的演化算子，那么根据文献[13]中引理3.1可知ω(Φ)<0，其中

进而，可以验证F(t)和Φ(t,s)满足文献[14]中的假设：

(H1)对任意的t≥0，有F (t)X+⊆X+;

(H2)对任意的t≥s，有

依据文献[14]中的理论，定义X上的线性算子L为

受下一代再生算子定义的启发[15–16]，定义L的谱半径为系统(2)的基本再生数，即R0:=r(L)。根据文献[14]中定理3.1可得以下结果。

引理3假设(H)成立，则R0-1,r(U(ω,0))-1和-λ∗有相同的符号，其中U(ω,0)是系统(4)所对应的Poincar´e映射。

下面我们基于R0来分析系统(2)的动力学。

定理1假设(H)成立，对任意的ϕ∈X+，令u(x,t,ϕ)为系统(2)的解，其满足初始条件u(x,0,ϕ)=ϕ(x),∀x∈Ω，则下面的结论成立。

1)如果R0<1，则limt→∞∥u(·,t,ϕ)∥X=0,∀ϕ∈X+。

2)如果R0>1，则系统(2)存在唯一的正周期解u∗(x,t)，且对任意的ϕ∈X+\{(0,0)}，有limt→∞∥u(·,t,ϕ)-u∗(·,t)∥X=0。

证明1)对任意的ϕ∈X+，记，那么v(x,t,ϕ)是系统(4)满足初始条件v(x,0,ϕ)=ϕ的解。容易看出，v(x,t,ϕ)是系统(2)的上解。由比较原理，有。因为R0<1，所以由引理3知r(U(ω,0))<1。进而，由文献[15]中命题A.2，可得ω(U)<0，那么当t→∞时，有

因此，对任意的x∈Ω，有

2)对每个t≥0，定义系统(2)的解映射St:X→X为

如果R0>1，由引理3可得r(U (ω,0))>1。易见

是严格次齐性的，即对任意的和α∈(0,1)，有G(x,t,αϕ)>αG(x,t,ϕ)。据此，可得Sω是严格次齐性的。注意到，当ϕi=0时，Gi(x,t,ϕ)≥0,i=1,2。又对任意的t>0,G(x,t,ϕ)合作不可约。因此，由文献[17]中定理7.4.1知Sω在X上强单调。

对任意的x∈Ω,t>0，考虑以下具有参数ϵ的线性扰动系统

设Pϵ为系统(6)在X上的映射，r(Pϵ)是Pϵ的谱半径。因为limϵ→0r(Pϵ)=r(U (ω,0))>1，所以可选择一个很小的正数ϵ1，使得r(Pϵ)>1,∀ϵ∈[0,ϵ1)。根据引理2，存在一个正ω-周期函数vϵ(x,t)，使得是系统(6)的解，其中。固定ϵ∈[0,ϵ1)，根据解对初值的连续依赖性可得存在δ0>0，使得当∥ϕ∥X≤δ0时，有∥St(ϕ)∥X<ϵ,∀t∈[0,ω]。

断言3 lim supn→∞∥u(·,nω,ϕ)∥X≥δ0,∀ϕ∈X+\{(0,0)}。

若不然，设存在和n0≥1，使得，那么对任意的t≥n0ω，令t=nω+t′，其中n=[t/ω],t′∈[0,ω)，则有

设是系统(2)满足的解，根据上述不等式可知，对任意的满足

由于，容易验证。因此，选取l>0，使得

由比较原理，有

由于λϵ<0，故当t→∞时，，矛盾。

断言4 Sω有唯一的不动点ϕ∗∈Int(X+)。

假设ϕ,ψ∈Int(X+)是Sω的两个不动点，又因为Sω强单调且严格次齐，根据文献[11]中引理2.3.1，可得存在某个τ∈(0,1]，使得ϕ=τψ。进一步，可得τ=1，即ϕ=ψ。实际上，若0<τ<1，则有

矛盾。因此Sω在Int(X+)上至多有一个不动点。下面只需证Sω有不动点。

对任意的ϵ>0，取足够小的ρ>0，使得。容易验证ρvϵ(x,t)是系统(2)的一个下解。由比较原理，有

那么，可得

进一步，有

通过与文献[18]中引理4.1类似的讨论可得，离散轨道γ+(ρvϵ(·,0))={Snω(ρvϵ),n≥1}在X中渐近紧。那么它的ω-极限集ω(ρvϵ(·,0))是非空紧的不变集。由标准的单调迭代方法[19]，可得存在ϕ∗∈X+，使得当n→∞时，Snω(ρvϵ(x,0))→ϕ∗(x)。根据断言3可知。又Sω在X上强单调且Sω(ϕ∗)=ϕ∗，我们有ϕ∗∈Int(X+)，故ϕ∗∈Int(X+)是Sω的唯一不动点。记u∗(·,t):=u(·,t,ϕ∗)，则u∗∈Int(X+)是系统(2)唯一的正周期解。进一步，根据文献[12]中定理3.10，可得

3、数值模拟

本节通过数值模拟来研究模型参数对R0的影响。模拟中，取周期ω=365 day，空间Ω=(0,1)(单位：km)。假设总人数为H(x)=10 000(1-0.2 cos(2x))，其他基本参数取为[13,20]

首先，我们研究扩散系数d对R0的影响。图1(a)显示R0关于d单调递减，这表明人的运动有利于疾病的控制，且从长期来看，R0趋向于一个固定的值。由于越来越多的人离开农村到城市居住，人口密度分布将随之发生变化。下面取H(x)=10 000(1-δ cos(2x)),0≤δ≤1,d=0.1 km2·day-1，其余参数保持不变。图1(b)表示R0是δ的递减函数，这是因为随着δ的增加，越来越多的人离开农村并聚集在城市，减少了与不洁水源的接触，从而降低了人的感染率，进一步降低了疾病传播风险。

受天气和环境变化的影响，已观察到霍乱在一些流行地区呈季节性分布。为了研究季节性对R0的影响，下面取

其中0≤η1≤1和0≤η2≤1分别表示直接传播和间接传播的季节性波动幅度。图2(a)和图2(b)分别显示了R0与η1和η2之间的关系。随着η1的增加，从图2(a)可以看到R0呈递增模式，表明直接传播途径的季节波动会使疾病传播风险升高。然而，图2(b)显示R0关于η2不单调，这与文献[13]中观察到的结果一致。

图1 扩散和空间异质性对R0的影响

图2 季节性对R0的影响

4、结论

本文考虑了人的扩散、空间异质性和季节性对霍乱传播动态的影响，提出了一类周期退化反应扩散霍乱模型，分析了模型的全局阈值动力学：当R0<1时，系统的零解是全局吸引的；当R0>1时，系统存在唯一的全局吸引的正周期解u∗(x,t)。数值上研究了模型参数对基本再生数的影响，结果表明，人口分布的空间异质性可能会降低疾病的传播风险。特别地，我们发现直接传播的季节性波动有助于霍乱的传播，而间接传播的季节性波动对霍乱传播并不总是起到正作用的。

本文研究的是空间有界域上的阈值动力学，而对无界域上的传播动力学(如渐近传播速度和行波解)并未涉及。因此，这可作为以后的研究课题之一。此外，关于霍乱的建模和研究，还有一些问题值得进一步考虑。例如，媒体报道可以及时有效地提高人们的意识，使人们采取相关措施来降低感染，从而更快地控制疾病传播。因此，建模时可引入媒体报道效应分析其对疾病传播的影响。

基金资助:国家自然科学基金(11971369);中央高校基本科研业务费(JB210711)~~;

文章来源:褚慧洁.具有季节性退化型反应扩散霍乱模型的动力学[J].工程数学学报,2024,41(06):1074-1086.