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不定方程x2+4096=4y13的整数解研究
摘要：运用同余理论、代数数论等方法对不定方程x2+4096=4y13的整数解问题进行研究,发现不定方程x2+4096=4y13无整数解.
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1、引言
不定方程也常称为丢番图方程,早在公元3世纪古希腊丢番图就已经开始了对不定方程研究,到如今不定方程的内容已经十分丰富[1,2,3,4].
设C,D,E∈N,C为无平方因子,关于不定方程
Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)
的求解问题是数论中的一个重要问题,许多研究者发现若是用代数数论的方法解决这类不定方程,会取得较好的结果[5,6,7,8,9,10,11],本文运用同余理论以及代数数论等方法证明了不定方程x2+4096=4y13无整数解.
2、主要引理
引理1[4]设M是唯一分解整环,α,β∈M,(α,β)=1,若αβ=γk,γ∈M,正整数k≥2则,
α=ε1μk,β=ε2νk,μν∈M
其中ε1,ε2是M中的单位元素,并且ε1ε2=εk,ε为单位元素.
引理2[10]不定方程
x2+1024=y13
无整数解.
3、定理及证明定理不定方程
x2+4096=4y13(1)
没有整数解.
证明下面分为x≡1(mod2),x≡0(mod2)两种情况讨论.
(1)当x≡1(mod2)时,在Z[i]中,(1)式可写为(x+64i)(x-64i)=4y13,x,y∈Z
设δ=(x+64i,x-64i),由δ|(2x,128i)=2,可知δ只能取1,1+i,2;由于x≡1(mod2),所以x+64i≡1(mod2),因此δ≠2;如果δ=1+i,则N(1+i)|N(x+64i),即2|X2+4096;然而这与x≡1(mod2)矛盾;所以δ=1.因而由引理1可知
x+64i=4(a+bi)13,x,a,b∈Z
因此
x=4(a13-78a11b2+715a9b4-1716a7b6+1287a5b8-286a3b10+13ab12)
64=4b(13a12-286a10b2+1287a8b4-1716a6b6+715a4b8-78a2b10+b12)(2)
所以易得b=±1,±2,±4,±8,±16.
b=1时,由(2)式可知
15=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)
上式若要成立,那么必须有13|15,矛盾,因此b≠1.
b=-1时,由(2)式可知
-17=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)
上式若要成立,那么必须有13|-17,矛盾,因此b≠-1.
b=2时,由(2)式可知
8-212=13(a12-88a10+1584a8-8448a6+14080a4-6144a2)
上式若要成立,那么必须使得13|8-212,矛盾,因此b≠2.
b=-2时,由(2)式可知
-8-212=13(a12-88a10+1584a8-8448a6+14080a4-6144a2)
上式若要成立,那么必须使得13|-8-212,矛盾,因此b≠-2.
当b=4时,由(2)式可知
4-412=13(a12-352a10+25344a8-540672a6+3604480a4-6291456a2)
上式若要成立,那么必须使得13|4-412,矛盾,所以b≠4.
当b=-4时,由(2)式可知
-4-412=13(a12-352a10+25344a8-540672a6+3604480a4-6291456a2)
上式若要成立,那么必须使得13|-4-412,矛盾,所以b≠-4.
当b=8时,由(2)式可知
2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)
上式若要成立,那么必须使得13|2-812,矛盾,所以b≠8.
当b=-8时,由(2)式可知
-2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)
上式若要成立,那么必须使得13|-2-812,矛盾,所以b≠-8.
当b=16时,由(2)式可知
1−1612=13(a12−22a10162+99a8164−132a6166+55a4168−6a21610)− 21651921285435=a12−352a10+25344a8−540672a6+3604480a4− 6291456a2−21651921285435=−32×5×7×17×97×41683601= a2(a10−22a8162+99a6164−132a4166+55a2168−6×1610)
上式若要成立,则a=±1或a=±3.
当a=±1时,代入上式得
a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=
-6363054675527≠-21651921285435
矛盾,所以a≠±1.
当a=±3时,代入上式得
a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=
-41811750382095≠-21651921285435
矛盾,所以a≠±3.
所以b≠16.
当b=-16时,由(2)式可知
-1-1612=13(a12-22a10162+99a8164-132a6166+55a4168-6a21610)
上式若要成立,那么必须使得13|-1-1612,矛盾,所以b≠-16.
所以当x≡1(mod2)时,不定方程(1)无整数解.
(2)当x≡0(mod2)时,设x=2x1,x1∈Z,代入(1)时可得
x12+1024=y13
由引理2的结果可以知x12+1024=y13无整数解,即x≡0(mod2)时,方程(1)没有整数解.
综上可以得到,不定方程x2+4096=4y13无整数解.
参考文献：
[1]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海:上海教育出版社,1980.
[3]曹珍富.不定方程及其应用[M].上海交通大学出版社,2000.
[4]潘承洞,潘承彪.代数数论[M].山东:山东大学出版社,2004.
[7]高丽,马永刚.关于不定方程x2+16=y7的解的讨论[J].西南民族大学学报(自然科学版),2008,34(1):27-29.
[8]安晓峰.关于不定方程x2+64=y11的解的讨论[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2014,31(10):16-17.
[9]孙树东.不定方程x2+64=y13的整数解[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2015,36(3):78-80.
[10]尚旭.关于不定方程x2+4n=y13(n=4,5,6)的整数解[J].纯粹数学与应用数学,2017,33(4):377-391.
[11]郑璐,高丽,郭梦媛.关于不定方程x2+1024=y11的整数解[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2018,36(4):77-79.
[12]申江红,高丽,郑璐.关于不定方程x2+1024=4y9的整数解[J].延安大学学报(自然科学版),2018,37(2):18-20.
高丽,姜美杨.关于不定方程x~2+4096=4y~(13)的整数解[J].云南师范大学学报(自然科学版),2020,40(03):20-22.
基金:国家自然科学基金资助项目(11471007);陕西省科技厅科学技术研究发展计划资助项目(2013JQ1019);延安大学研究生教改研究重点资助项目(YDYJG2018022)
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2020-06-28
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