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数形结合思想在高中函数的应用

2021-06-28 137 上传者：管理员

摘要：数形结合思想在高中学习阶段对函数板块的学习发挥十分关键的作用,通过结合几何图形和代数关系,糅合直观与抽象,不但能够让学生加强关于图像、概念的认知,又可以协助学生选择不同的解题方法,继而形成严谨的数学思维。

关键词：
数学思维
数学思维方法
数形结合
高中函数学习
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高中阶段数学的学习对学生的要求是扎实的基本功、对于原理理解透彻、公式运用能够举一反三，还需要形成独立的数学思维方法。历年的高考考题也充分的体现了这一点，考题不但注重对数学能力、数学知识、解题技巧的考查，更关注的是考生数学能力、思想方法的形成。课程标准明确指出，高中数学课程的理念是侧重于数学的主线，培养形成独立完整的逻辑体系，凸显数学思想。思维方法的建立受到学生核心素养的极大影响，因此高中课程提出要培养学生的六个核心素养，分别是想象力、逻辑能力、建模、计算对数据分析以及抽象。在此其中，数学抽象是指构建数学逻辑的方式以及思维过程，它是通过图像特点以及代数关系进行的。直观想象指的是根据给出的图案分析事物对应的变化，通过图形正确理解问题，而且实际处理问题的整个过程所以数形结合思想和想象力以及抽象两种素养有关。新课标指出要学好高中数学，那么便要具备对数学和图形结合的问题进行分析处理的能力。

一、数形结合思想的内涵

数形结合指的是解决问题时，结合直观的图像以及抽象的代数关系，对实际问题进行研究，继而转化图形特点和代数关系。代数关系的重点是抽象的方程式、函数，图形特点指的是在坐标系下从图形、图像获得的关系。在函数问题方面，主要指的是根据图像发生变化的特征和代数关系，对问题进行分析处理。

二、数形结合思想在高中函数的应用

(一)以形助数

“以形助数”指的是按照图像的特点处理函数问题。要求学生对函数图像进行分析，找出图像的几何特征，进而根据直观图像得出函数的性质，并且转换函数性质成详细的代数关系，继而让数的问题得到解决。如题：

已知函数的部分图像如图所示，则()

在本题中通过函数图像反映的信息，结合三角函数知识我们可以得到以下代数关系：，联立方程①②③可求解出A,ω,φ，进而求出。

本题突出对学生提取图像信息和将图像特征其转化代数关系的能力的考查。学生首先要利用图像得到函数周期，然后利用特殊点坐标(0，)得出代数方程，第三利用函数图像的极值点得到代数方程解出φ。本题解决函数问题的方法是代数关系以及图像特征的彼此转化。

(二)以数辅形

“以数辅形”指依据函数所包含的代数关系，理解或得出函数的具体图像特征。代数关系是解决问题的工具，通过对数的分析，来对形进行研究，达到“形”的目的。形的模糊往往使用精确的数表达，如题：

例如下图，在边长为2的等边三角形ABC中，一条和ab呈90度角关系的直线L由a点出发从左往右移动，把三角形ABC分为两部分，假如线段AD=x

(1)把直线L左边图形面积的函数解析式写出来

(2)在直角坐标系中把函数图像画出来.

本题从平面图形的面积出发，让学生探究直线L左边图形的面积和线段AD的代数关系。通过图形的形状和平面图形的面积公式得出相应的代数关系即函数解析式，并根据解析式画出函数图像。正确解题思路是当0<x≤1时，左边部分的图形是三角形，当1<x<2时，左边部分的图像是四边形，通过对面积的计算，可以获得函数解析式，在这道题中它的形式是分段函数，按照它的性质把相对应的图像画出来。

(三)数形结合

“数形结合”指利用函数解析式，作出函数的图像，然后根据函数图像的“图像特征”得到具体的“代数关系”来解决数学问题。如题：

已知a是常数，函数的导函数y=f′(x)的图像如右图所示，则函数的图像可能是()

本题应当先对参数a的取值范围进行确认，主要通过函数解析式以及二次函数性质进行确定，根据取值将g(x)图像画出。画图像时，要跟指数函数性质联系起来，按照参数的取值对它的加减性进行判断，最后通过绝对值性质转换图像。本题通过“代数关系”与“图像特征”的互相转换可以快速解决问题。

三、结束语

在学习高中函数的过程里，数形结合思想是一种重要的数学思维，发挥着十分关键的作用。它着重于帮助学生从不同角度对概念进行深入理解，形成一定的思维能力，延伸探索解决问题的方法。在数形结合过程中，图形的直观使得函数性质一目了然，而数据的表示又可使图形更具意义。学生在解决函数问题时将函数的相关性质、概念与函数图像结合起来，利用“代数关系”与“图像特征”的互相转换，从而找到解决问题的方法。

参考文献：

[1]郑毓信.数学教育哲学[M].四川教育出版社，1995.

[2]徐斌艳.数学课程与教学论[M].杭州:浙江教育出版社，2003.

[3]孙宝恩.高中数学教学与解题中数形结合法的应用.数理化解题研究[J，2019.

文章来源：刘来.数形结合思想在高中函数中的应用[J].高考,2021(14):19-20.