乾嘉算家逐渐理解并恢复了天元术,晚清算家对天元术有了更深的认识,出现了一批天元术著作。1859年翻译出版的《代数学》第一次系统地把代数学介绍到我国。此后,中算家不仅继续与传教士合译代数学著作,还独立翻译和编写了不少代数学书籍。天元术和代数学在晚清分别具有了代表性地位,下面的言论时常可见:“算学至有天元之术,其微妙为已极。”[1]顾有光序“代数者,算学至精之诣也。”[2]2a在天元术和代数学这种共存的状态下,两者开始了交融和碰撞的历程,对这一过程的考察可以加深我们对中西异质文化互动的认识。学者已经梳理了代数学在晚清的传播情况[3]271-277,本文则以天元术向代数学的转变为视角,重点分析天元术和代数学在晚清的境遇,为中西数学的互动提供一个具体的案例。

一、中算家对代数学的接受与诠释

1859年,李善兰与伟烈亚力合作翻译了两本代数学著作,《代数学》和《代微积拾级》,后者的重点在微积分,它们均由墨海书馆出版,可惜“摆印无多”[4],发行量不大。《代数学》出版后,得到的反馈是“佶屈难读”[5]。《代微积拾级》更是除李善兰外“鲜有能通晓”[6]的人。虽然这样,在李善兰看来,吴嘉善、华蘅芳还是能“尽解之”[7]的。其实,1871年刊刻的《粟布演草》中的部分题目就是用代数来解决的。再者,夏鸾翔、华蘅芳等不仅对两书进行过深入的研究,还有新的创造问世[8]。

1873年,江南制造局出版了傅兰雅与华蘅芳合译的《代数术》。中算家对《代数术》比较重视,卢靖、吴诚各著有《代数术补草》和《代数术详解》。此后,传教士和中算家都独自翻译了代数学著作,如狄考文《代数备旨》、徐虎臣《浦通新代数》等。江衡、邹尊显、邓建章这样的中算家开始用代数学的方法解决中算问题。以歌谣形式创造的一些数学启蒙类书籍也陆续出现,比如周运煃的《入算初阶》。对代数学著作进行细草及解读的著作更如雨后春笋般涌现[9]。

晚清的教学机构也开始引入代数学内容。1867年京师同文馆增设天文算学馆,该馆明确规定五年学制的学生必修代数学[10]。福建船政学堂、广东实学馆、天津水师学堂等开设的课程也都包括代数学。学院是中国的传统教学形式,华世芳选编的《龙城书院课艺》及支宝枬编的《上虞算学堂课艺》,都涉及了代数学。黄庆澄、朱宪章等人各自创办的《算学报》,也刊载了代数学内容。知新算社是一个数学研究的民间团体,从《知新算社课艺初集》可知,知新算社对西算的研究较为系统,就代数学来说,已有前沿研究的意味。它的“编者识”还称:

“日本译西算,译其文而不易其式。吾国则并其式而亦易之。各国皆同,一国独异,是最不便事也。”[11]

此处论说的是,书写形式要与西方保持一致,论证逻辑是“各国皆同,一国独异,是最不便事”。可见,就中西书写形式而言,他们选择西方书写形式的原因在于方便学术交流,并不是从算理的角度来考虑此问题。

李善兰、华蘅芳不仅是代数学著作的译者,还是晚清成就最高的算学家,他们对代数学的诠释具有典型性。李善兰认为代数学的特征是“别以记号”[12],这种看法与他研究四元术的背景有关。四元术虽是天元术的更高形式,但其自身也存在着局限,对于多元交叉相乘或者五元以上的问题,四元术是很难解决的。李善兰深知四元术的这种困境,为了寻求出路,专门写了《四元解》一书,其法虽可解决问题,却使计算过于复杂,不具有实用性。代数学恰好可以圆满地解决这个问题,因为用符号表示位次,不会受到空间限制。基于此,李善兰相信代数学的本质在于用符号代替位次,他的这种看法产生了一定的影响,如王泽沛也声言:“代数别以记号”[13]。

《代数学》的另一位译者伟烈亚力对代数学有不一样的看法。他认为代数学的本质是已知数、未知数、常数“尽以字代”[14],尤其是以符号代已知数或常数。他曾称:“今之代数非昔可比”[14]。“昔”指借根方。伟烈亚力在《代数学》序中具体比较了两者的异同,在他看来,借根方与代数学的不同之处在于,借根方仅用“根”与“方”代替未知数“记号殊简略”[14],不如用符号表示未知数、已知数、常数的代数学。此外,透过伟烈亚力在《数学启蒙》中选择“代数”一词来翻译“algebra”[15],不难看出他对代替数值的符号的重视。

华蘅芳的《学算笔谈》分析了天元术的四点不便,归结为两条:一是“以位次入算”的特征,二是“用具体数字入算”的特征[16]卷七,7。与之相应,他对代数学也提出了两点看法,其一,“代数则不论行列、位次一切皆以记号明之。”[16]卷七,6其二,“无论何数皆可以其本字代之”[16]卷七,6。很显然,华蘅芳在讨论代数学时,针对的往往是天元术面临的困境。他对代数学的诠释似乎是李善兰、伟烈亚力两家的综合体。

综合来看,无论晚清中算家是否把握住了代数学的本质,他们对代数学的接受在普遍性上达到了很高的程度,就连大力坚守天元术的李镠在“中西算学优劣论”中也暗示着代数学的优越性。[17]7伟烈亚力对代数本质的理解是从梳理代数学历史得来的,可以说是代数学在其原传统中的“本意”。中算家对代数学的诠释与之有暗合之处,也有出入的地方,这与他们的中算背景有关。

二、中算家对天元术的坚守

晚清代数学虽获得了很大的赞同,但中算家依然坚信天元术自有其价值,倾心于中算者如李镠可不必说,就连倾向于西算的中算家也是如此。乾嘉时期算学家多持“天元一即借根方”的观点,在李善兰、吴嘉善、丁取忠等晚清算家的著作中也时常看到类似的说法,只不过把借根方换成了代数学,这在某种程度上反映了他们对天元术的坚守。

就李善兰、伟烈亚力而言,他们都认为两者理同法异,李善兰说“中法之四元,即西法之代数也。……法虽殊,理无异也。”[12]伟烈亚力称“代数术略与中土天元术之理同,而法则异。”[14]转折句强调的往往是转折后的内容,这就是说,李善兰强调两者的相同,伟烈亚力强调两者的差异。论述二者相同之处时,李善兰选择了十分肯定的“即”字,伟烈亚力仅用“略与”二字。这种差异当然有很多内涵可以阐发,这里只指出一点,即李善兰依然在坚守天元术的价值。其实,二人合译的《代数学》中也有天元术的身影,“凡此诸名之改,皆从天元、四元。”[14]

李善兰坚守天元术的原因可从他的《测圆海镜细草》序中略窥一二:“善兰少习《九章》,以为浅近无味。及得读此书,然后知算学之精深,遂好之至今。后译西士代数、微分、积分诸书,信笔直书,了无疑义者,此书之力焉。盖诸西法之理即立天元一之理也。今来同文馆,即以此课诸生,今以代数演之,则合中西为一法矣。”[18]可见,早先天元术的钻研对李善兰的代数学学习提供了很大的帮助。他还在同文馆教授天元术知识,选择的教学用书有《测圆海镜》《四元玉鉴》《四元解》。[19]

华蘅芳与李善兰对学习数学所持有的态度类似,即“不存中西之见”[16]卷五,4。这不仅是说不要对西算存有偏见,在当时西算占上风的背景下,更是在维护中算的价值,也就是说,用西算取代中算也属于中西之见,应当避免。华蘅芳在《学算笔谈》中谈到,天元术只是学习代数学和微积分的阶梯,他所看重的是天元开方术(增乘开方法),而非天元术本身。他说:“不习天元则于正负开方之理不能尽明,虽从代数得其相等之式亦不易求其同数。”[16]卷五,4陈崧也说:“近日李壬叔、华若汀皆深于算学者,亦以此法(增乘开方法)为甚便也,余故采而用之。”[20]华蘅芳还专门写作《开方别术》和《开方古义》二书来阐释增乘开方法。翻开刘泽桢《中西数学通解》、张鼎祐《种竹书室算草》、支宝枬编《上虞算学堂课艺》等书,增乘开方法比代数开方法更为优越的说法也时常可见。

华世芳选编的《龙城书院课艺》的一处论说是“天元代数异同说”,其中讨论了天元术和代数学的六点差别和两点相同之处,虽然认为代数学比天元术更为简易,然而也认同天元术的价值。瑞安学计馆(1896—1902)设立的目的是“以应时需”,该馆对轻视中算的行为有所惩罚。[21]黄、朱二氏的《算学报》都载有天元术的内容。一时天元类的著作也大量出现。

可见,无论从李善兰、华蘅芳这样的算学家来看,还是从整个算学生态环境来看,中算家都还坚守着天元术的价值。一个不容忽略的事实是,晚清重要算学家的工作已经集中在了代数学上,当时涌现的天元术著作多为细草、浅释之类。在阅读相关著作的过程中,我们感受到的是,在代数学的大潮中算学家无力的坚守。其实,算家对天元术的这种坚守也从侧面反映了天元术在晚清的式微。然而,有一批算学家却对天元术有专门的研究,如吴嘉善、李镠,他们代表了晚清天元术的发展方向。在讨论他们的具体工作之前,不妨先看看他们对天元术的态度。

吴嘉善是“长沙学派”的重要成员之一,他著有《算学二十一种》,其中有八种天元类著作。他对天元术的描述是“但使粗能九九,无不可依法推求。至于布式既熟,不唯算法能详,兼于算理可悟,乃知至妙至精之用,寓于至平至易之中。”[22]10这里从详算法、悟算理、至妙、至精、至平、至易等方面出发给予天元术无以复加的赞誉。上文已知,李善兰认为吴嘉善能尽解其著作(包括代数学),此当不是无稽之谈,然而两相比较,他的工作却只集中在天元术。刘光蕡为《算术二十一种》作序时称:“得是书而中法灿然矣。凡近人新出之书,均可迎刃而解,西术可由是窥其奥行。谓熔西人之巧入大统之型模,学者毋浅视之也。”[23]这里所谓的使中法灿然、熔西入中恰是吴嘉善算学工作的追求所在。

李镠,字琅卿,别字拙奴,号隐居士,浙江台州市临海人。李镠的数学著作收录在《钟秀盦子学算学》里,其中很多内容与天元术有关。他对天元术和代数学都下过一番功夫,他曾困学《测圆海镜》九年,而仅知加减,终于实现“精积日久之豁然一旦”。[24]例言他“又阅米利坚罗密士撰《代微积拾级》,西法代数之学,著《归元正笔》。”[1]自序透过《海镜法笔》《衍元海鉴》《四元玉鉴省笔》三书,李镠为中西代数学进行了排序,按照优劣顺序依次是:天元术、代数学(四元术)、借根方。在李镠的体系里,天元术具有绝对的优势,不仅如此,他还把天元术的作用扩充到了化学、汽学、电学等学科。[1]自序李镠曾在“中西算学优劣论”中感慨中算不如西算,把原因归于中算无人可传。他给董毓琦《天代蒙泉》作跋时,还把中西算学与“用夏变夷”相联系。董毓琦自称为“用夏变夷主人”,并作“算学辟邪崇正说”,把西算看作“邪”,中算为“正”,要用夏变夷。[25]

可见,晚清中算家无论对中西算学持何种态度,他们都在坚守天元术的价值,只不过程度不同而已,就连一些书院、算学报、算学团体等也是如此。面对代数学挑战,晚清中算家对天元术的坚守则处于防御的状态。当然并非所有中算家都有这种坚守意识,徐谦在《简易菴算稿》跋中提到:

“道咸年间代数初入中国,翻者不解,讹谬不胜指数,先生(刘彝程)为之一一校正,其书始可读。学者习其法,乃置天元、四元为不足道,此又先生之功,过于李尚之、徐忠愍辈也。”[26]

这里把“置天元、四元为不足道”看成是刘彝程(1833—1920)的一大功劳,流露出了他对天元术的轻视,从中更能体会出晚清中算家对天元术的坚守所蕴含的意味。

三、中算家对天元术的改造

吴嘉善、李镠所谓的天元术其实是被改造过的天元术,通过细节分析,可以更进一步了解天元术知识在晚清的转变情况。天元术的特点是“以筹入算”,这就使得天元术只能用具体数字进行运算。吴嘉善认为这种演算方式“易晓”,熟练掌握这种方法,“可以不用数而用名”。[27]3那么,他所谓的“名”具体指什么呢?吴嘉善在《天元名式释例》中写道:“何谓数?一、二、三、四、五、六、七、八、九是也。何谓名?甲、乙、丙、丁等字是也。”[22]7这是说,代替具体数字的天干是名。其次,吴嘉善还用文字叙述的方式表述已知数,他的《天元问答》用“句弦较”、“句股较”、“句弦较幂”、“句股较幂”等描述代替具体数字。[28]传统天元术也有此等名词,不过后面要加上具体数字,而在这里具体数字没有出现的必要。再次,吴嘉善还采用了特殊符号,他的《天元问答》用“″”表示二次方,他坦承用小点表示二次方的方法,“本代数式,用于式中良便,故采用之。”[29]1综合来看,吴嘉善所谓的“名”包括天干、文字叙述及特殊符号三种。就解题步骤来说,他先用“名”代替具体数字,求出“除式”,然后把具体数字代入,得到开方式。

吴嘉善在《方程天元合释》中强调“天元即方程”的观点,他持此说的两个关键词是“齐而相消”与“相当式”。“齐而相消”是说方程式或天元式最后都要消成开方式。“相当式”是吴嘉善理论的重点,也是“立术”的根本。在吴嘉善看来,方程与天元归根结底都是相当式,相当就是相等的意思,相当式即等式。[30]24中国传统数学没有关系符号[31],吴嘉善也没有选用西方传进来的“=”来表示相等的关系,而是诉诸相当式,并把它分成了合式与分式。[30]24分式是把项数分布在等式两侧,合式是把项都放在等式的一侧,另一侧为零。分式中等式两侧必然相等所以“同名相当”。合式中常数项必然与其他项等值异号所以“异名相当”。在吴嘉善看来,天元为分式,方程为合式。基于此,吴嘉善提出了方程即天元说。

传统方程术用于解决多元一次问题,且要依靠不同的位次来表示各元,吴嘉善所谓的方程其实是四元术的变形。他用天、地、人、物四个字而不是用位次来表示未知数,这样就把四元术的位置缩减为一行,与天元术一致。吴嘉善在《四元草》中专门谈了四元术与方程的关系[32]12,把四元术中的今式、云式等同于方程的一行、二行,并认为这种类比有普遍意义,两者的区别只在于繁简的不同。

可见,吴嘉善所谓天元术和方程术其实都只是,把代数学符号移植到天元术位次里的混合体。这种天元术就其本质而言更接近代数学,江衡注意到了这点,他在《句股演代》中指出:

“南丰吴子登太史著《天元名式释例》一卷,因天元用真数演算,各式不能相通,于是变为名式,不用数而用甲乙等名。曾设句股和、句弦较求句一题以起例。盖欲于《天元草》中化作公式以广其用。此即代数术之意也。今以代数演算句股诸题,各得其公式,存为公法,是犹太史之意云尔。”[33]

江氏的分析可谓鞭辟入里,有两点需要注意:(1)使用“名式”可以实现算法一般性以及扩大天元术解决问题的范围;(2)“以名式入算”的方法属于代数学。

下面再看看李镠对天元术的改造。天元术解决的是一元多次方程问题,但是李镠的天元术却能应对任意元问题,甚至连微分、积分问题都可以解答,这是二者最大的差异。《石鲸书院元草》第一百零二题为微分问题[34]26,用现代方法表示为,若勾股形中的勾a,股b,面积S的变化比例分别为a′,b′,S′,则S′=12(a′b+ab′),该题的演算程序从这一等式而来。但是立S′为“天元一”之后并没进行运算而是直接“寄左”,且在“如积相消”之前“天元一”都没有参与运算。这就是说,该题采用的并非天元术,所谓的天元术只是徒有其名。分析其细草可知,李镠所谓天元术本质乃是代数学,只不过用“每秒中股变大微分”、“勾变大微分”、“面积微分”之类的描述代替代数学中的符号。紧接着该题又给出了另一种解法,但只不过把演算程序换成了2S′=a′b+ab′而已,即把“天元一”进行了乘以2的运算。这道题的解答者虽是李仁,他无疑是继承了老师李镠的解题方法。

概言之,从晚清天元术知识内部的发展来看,中算家虽然仍在通过改造的方式来坚守天元术,但天元术的“本意”已经逐渐瓦解,它的本质转向了代数学。

四、华蘅芳与李镠的争论

华蘅芳与李镠之间进行过一场争论1,这是晚清天元术与代数学展开的一次对话。这场争论常是华蘅芳提出疑义,李镠进行辩护。华蘅芳《学算笔谈》卷七认为天元术驭盈朒术最为简单,但对多次方程问题的解决无能为力。毫无疑问,这种观点与李镠对天元术的认识相违背。对此,李镠展开了辩护,他坚信《石鲸书院元草》第一百零一题[34]25属于天元术,并在该题的识语中称:

“《笔谈》:‘天元学浅,驭盈月肉则易,驭方程则为难,四色方程天元不能驭。’今则以天元驭四色方程,庶可擅长五色、五色以上方程。”[34]26

《笔谈》即《学算笔谈》。李镠此处的争论意味很强,他想要证明的是,天元术也可以解决多次方程问题。我们分析该题的解答过程可以发现,其中使用了一式、二式、甲式、乙式、乙五、丙七、丁九等语言叙述,而且它们之间还进行了相互运算,比如“以(五式),二色乙六,消(六式),二色乙六”等。这就是说,李镠虽然解决了多次方程问题,但就其本质而言,他所谓的天元术已属于代数学。

李镠曾用天元术演算《四元玉鉴》,并出版著作《四元玉鉴省笔》。华蘅芳在《学算笔谈》中对李氏的这种做法进行了评论:

“近人,有取《玉鉴》中三元、四元诸题,但立天元、地元,以求之者,虽布算较省,然须多一识别,且非朱氏著书之意也。”[16]卷七,7

“近人”指李镠。华蘅芳认为李镠用天、地二元演算《四元玉鉴》中的题目,虽比较方便却需要多加“识别”一步,这并非朱世杰的本意。

下面分析李镠的“识别”,他的《四元玉鉴省笔》“三元运才”有一问:

“今有股弦较除弦和和,与直积等。只云勾弦较除弦较和,与勾同。问:弦几何。”[35]2

若令勾股形中勾、股、弦分别为a、b、c,李镠对该题的解答多出了两个“识别”,即:(a+b)−c2[c+(a+b)]=ab和(a+b)−c2[c+(b−a)]=a(c−a),并称“识别为天元之常”[35]自序,这正是华蘅芳的疑问所在。我们看到,该题虽然“立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦”,可是由于识别的引入,整个运算过程全用算术方法,所以华蘅芳的质疑是有道理的。紧随其后,李镠称:“右草缜密,合问比原术省三元又省三乘方。”[35]2该题原解用的是三元术,李镠竟认为他的解答比原方法省了三元。可是,李镠依旧坚信此为“一元衍草”:

“华蘅芳《行素轩算学笔谈》卷七末条云:‘近人有取《玉鉴》中三元、四元诸题,但立天元、地元以求之者,虽而布算较省,然需多一识别,且非朱氏著书之意也。’盖指镠《省笔》云。然《省笔》实以一元驭二元、三元、四元诸题,非以二元驭三元、四元诸题,欠有区別。朱氏驭四元,镠能驭一元,更上出著书之本意也。识别为天元之常,非赘。”[35]自序

李镠直接摘录华蘅芳的原话,逐一进行反驳,火药味很重。李镠强调自己用的不是二元术,这是合理的。然而,他认为其采用的是天元术,并不恰当。

华蘅芳曾在《学算笔谈》里自谦道:“余生平未尝致力于四元,故四元之术非余之所长,仅能略知其大意耳。”[16]卷七,3李镠就此展开评论:“华自谓:‘平生未尝致力四元,仅能略知四元大意。’职是致误畏难,极言四元之难,代数之便。然使熟学四元,则四元亦巧生便易,镠则以一元驭之,以示天元之易。”[35]自序李镠这里的论说显然带有感情色彩,有断章取义之嫌。

五、结语

晚清中算家对代数学的接受程度很高,他们对代数学的理解与各自的中算背景有一定的关系。他们虽然仍在坚守天元术的价值,尤其是增乘开方法,但天元术的发展确已式微。从整个算学生态来看,晚清已经呈现出了从天元术向代数学转变的趋势。就具体知识而言,晚清天元术向代数学的转变体现在两个方面,(1)部分中算家通过对天元术和代数学的比较,认识到了天元术的局限,他们开始有针对性地对天元术进行改造,其方向往往与代数学有关,致使改造后的天元术就本质而言已然成了代数学。(2)一些具有“用夏变夷”情结的中算家不愿承认天元术不如代数学,他们也对天元术进行了改造,这种改造后的天元术沦为了与代数学抗衡的工具,并无多少实在的天元术的意义。我们虽然描绘出了如上的转变趋势,但并不是说中算在思想观念、价值判断等方面同样有类似的转变,而那也是一个值得深究的问题。

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