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在线性代数中特征值与特征向量的应用探究
2020-06-28
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上传者：管理员
摘要：对矩阵的特征值与特征向量研究具有一定意义。对矩阵特征值与特征向量在求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题进行系统地归纳与分析,以期对线性代数教学与学习提供参考。
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在线性代数教学中,求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题都可以借助于矩阵特征值与特征向量实现。本文对这些问题进行了归纳与分析,以便学生能够熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法,熟悉特征值与特征向量在线性代数教学中的应用。
1、求相关矩阵的特征值与特征向量
设λ是n阶矩阵A的特征值,ξ是属于λ的特征向量。当f(x)是x的多项式时,则f(λ)是矩阵f(A)的特征值,ξ是属于f(λ)的特征向量;当|A|≠0时,λ-1为矩阵A-1的特征值,λ-1|A|为伴随矩阵A*的特征值,ξ是对应的特征向量;λ也是AT的特征值,若存在可逆矩阵C使得AT=C-1AC,则C-1ξ是属于λ的特征向量。以上性质可参见文献[1,2,3]。
例1设矩阵A的特征值为-1,1,2,求矩阵A3-2A2+4A+5E的特征值。
解:设f(x)=x3-2x2+4x+5,则有
f(A)=A3-2A2+4A+5E。
由性质知f(A)的特征值为f(λ),其中λ为矩阵A的特征值,而
f(-1)=(-1)3-2(-1)2+4(-1)+5=-2;
f(1)=13-2·12+4·1+5=8;
f(2)=23-2·22+4·2+5=13。
即矩阵A3-2A2+4A+5E特征值为-2,8,13。
2、求矩阵的幂
设n阶矩阵A可对角化,则求矩阵A的k(k>0)次幂Ak的具体步骤为:首先,求矩阵A的特征值λi及其相应的特征向量ξi,i=1,2,...,n;其次,令P=(ξ1,ξ2,...,ξn),Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)则有A=PΛP-1,进而Ak=PΛkP-1=Pdiag(λ1k,λ2k,...,λnk)P-1。
例2设，求Ak(k>0)。
解:(1)由，得A的特征值λ1=1，λ2=3。
当λ1=1,由于)，故属于λ1的特征向量为
当λ2=3,由于，故属于λ2的特征向量为
(2)令)，于是
3、判定矩阵对角化
如果矩阵A与某一个对角矩阵相似,则称矩阵A可对角化。n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量,或者对每一个特征值λi都有秩(A-λiE)=n-ni,其中ni为特征值λi的重数。实际上,如果n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A一定可以对角化。
例3试判断矩阵
矩阵1
是否可对角化?
解:令矩阵2,
知矩阵A有3个互不相同的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,故A可对角化。
例4试判断矩阵
矩阵3
是否可对角化?
解:(1)令矩阵4
知矩阵A特征值λ1=5,λ2=-4(2重)。
(2)因故秩
因
矩阵5
故秩(A+4E)=1=3-2。
综上所述,矩阵A可对角化。
例5试判断矩阵是否可对角化?
解:(1)令矩阵6，
因此，矩阵A特征值λ1=-1(3重)。
(2)因
即秩(A+E)=2≠3-3。
综上所述,矩阵A不能对角化。
4、求解特征值与特征向量的反问题
在教学过程中,常常遇到已知矩阵的特征值与特征向量的信息反求矩阵的问题,这类问题称为特征值与特征向量的反问题。反问题至少含有以下几种情况:已知矩阵A的全部特征值与特征向量求矩阵A;已知矩阵A的参数形式和矩阵特征值求矩阵A;已知矩阵A的参数形式和矩阵特征向量求矩阵A;已知实对称矩阵A的全部特征值和部分特征向量求矩阵A;已知实对称矩阵A的部分特征值和部分特征向量求矩阵A。笔者在文献[4]中给出了这几类情况的解题方法与步骤,这里不再一一赘述。
例6设3阶矩阵A的特征值λ1=2,λ2=1,λ3=-1,对应的特征向量依次为
矩阵7
,试确定矩阵A。
解:因为A的特征值互异,所以向量组p1,p2,p3线性无关,从而矩阵P=(p1,p2,p3)可逆,则有于是
5、判定矩阵合同关系
设A,B为任意的两个n阶实对称矩阵,如果存在可逆矩阵C使得B=CTAC成立,则称B与A合同,或者说A,B具有合同关系[1]。矩阵A,B具有合同关系的充要条件是它们具有相同的正惯性指数和负惯性指数。换句话说,矩阵A特征值大于零的个数和特征值小于零的个数分别与矩阵B特征值大于零的个数和特征值小于零的个数对应相等,则A,B具有合同关系,反之也成立。
例7设，判断矩阵A与B是否合同?
解:(1)令，得矩阵A的特征值为-1,-1,5，即矩阵A的正惯性指数为1，负惯性指数为2;
(2)令，得矩阵B的特征值为3,3,6，即矩阵A的正惯性指数为3，负惯性指数为0。
因此，矩阵A与B不具有合同关系。
6、判定实二次型的正定性
通过线性替换判定实二次型的正定性的过程复杂繁琐,但是利用二次型矩阵的特征值判定二次型的正定性过程简洁明了。设实二次型f(x1,x2,...,xn)的矩阵为A,若矩阵A的特征值均大于零,则该二次型为正定二次型;若矩阵A的特征值均小于零,则该二次型为负定二次型;若矩阵A的特征值均不小于零,则该二次型为半正定二次型;若矩阵A的特征值均不大于零,则该二次型为半负定二次型;若矩阵A既有大于零的特征值又有小于零的特征值,则该二次型为不定二次型。
例8设实二次型f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4,试判定该二次型的正定性?
解:(1)设二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A,则有A，则有
(2)由)，即A的特征值为1(3重)和-3。
因此,该二次型不是正定二次型,而是不定二次型。
7、结语
实际上,矩阵的特征值与特征向量除在线性代数教学中有应用之外,还被广泛地应用在工程技术领域中的振动问题与稳定性问题、求解微分方程组、求数列的通项以及决策问题等等,感兴趣的读者可参阅相关文献。
参考文献：
[1]王萼芳,石生明.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.
[2]同济大学数学系.线性代数(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
[3]袁学刚,牛大田,张友,等.线性代数(理工类)[M].北京:清华大学出版社,2019.
[4]朱凤娟.矩阵特征值和特征向量的逆问题[J].滨州学院学报,2007,23(3):65-68.
朱凤娟.特征值与特征向量在线性代数中的应用[J].大连民族大学学报,2020,22(03):240-242.
基金：国家自然科学基金项目(11761001)
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1、基于核心素养视角的线性代数教学改革研究与实践2、三角形网格上形态开闭算子的研究3、浅谈线性代数教学中的直觉思维的培养4、工科数学课程群建设5、培养综合应用能力的离散数学教学改革研究6、疫情期间线性代数课程线上教学模式探索7、线性代数课程应用能力的培养途径和方法研究——以软件工程专业的教学实践为例8、基于独立学院的高等代数教学研究
2020-08-11
“线性代数”是工科类本科生的专业基础课程，其主要处理线性关系问题。课程的内容主要包括基础概念—行列式、矩阵及其运算；基本变换—矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性；以及线性问题分析—相似矩阵及二次型等内容。采用MATLAB解决矩阵特征值问题的相关教学实践论文已有报道[3]，此外，将微课应用到线性代数的教学中也取得了良好的效果[4]。
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外汇储备作为我国关键形式的储备资产,同时又是我国基础货币投放的主要渠道。自1994年我国实行以市场供求为基础、有管理的浮动汇率制度以来,我国外汇储备规模大幅扩大,从2006年开始,我国外汇储备规模位列世界第一,外汇储备的增加有提升国家声誉,吸引外商投资和拉动国民经济等积极影响。
2020-08-04
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2020-06-28
数学作为工科院校的一门基础课，对学生学好专业课起着至关重要的作用。通常情况下，工科院校开设的数学课程主要包括高等数学、概率与数理统计、线性代数、积分变换等，在这些课程中，普遍存在“教师难教，学生难学的现象，特别是线性代数，表现得更为突出。文章从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面提出了工科线性代数教学策略。
2020-06-28
目前,关于连续函数空间中基于框架的构造、性质、函数空间刻画及其在信息处理中的应用已经得到了完善与发展。然而,在实际应用中,由于输入/输出数据和滤波器都是离散的,所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的。基于数字的框架又名为离散空间中的框架,并不一定能够通过连续环境中的框架离散化得到,即使可以得到,也必须附加许多条件。
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2020-06-28
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期刊名称：系统科学与数学
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0577
国内刊号：11-2019/O1
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创刊时间：1981年
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