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Sylvester矩阵方程的可解性及其多项式解研究

2020-06-28 959 上传者：管理员

摘要：众所周知,代数闭域K上的Sylvester矩阵方程AX-XB=C有唯一解当且仅当矩阵A和矩阵B无公共特征向量。为深入讨论,利用Sylvester算子研究了Sylvester矩阵方程在任意域K上的可解性,得到其有唯一解当且仅当A和B的特征多项式无公共素因式的结论。在Sylvester矩阵方程有解的情况下,给出了其多项式解。

关键词：
Sylvester矩阵方程
Sylvester算子
中心化子空间
代数
公共素因式
多项式解
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设K是一个域,用Μn,m(K)(Μn(K))表示域K上的全体n×m(n×n)矩阵环。令A∈Μn(K),B∈Μm(K),C∈Μn,m(K)。方程

AX-XB=C(1)

称为Sylvester矩阵方程,其中X∈Μn,m(K)。在式(1)中,当C=O时,即

AX-XB=O(2)

称为对应于式(1)的齐次矩阵方程;特别地,当B=-AT时,即

AX+XAT=C(3)

称为Lyapunov矩阵方程。

在控制论、信号处理、神经网络、模型降阶、图像恢复等领域经常会涉及到Sylvester矩阵方程的数值求解问题。关于Sylvester矩阵方程的求解和数值计算,目前已有很多讨论[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。例如,文献[2]讨论了Lyapunov矩阵方程的公共解,给出了其无公共解的一个充要条件;文献[3]利用Jordan标准形和最小多项式理论,讨论了Lyapunov矩阵方程有非零解的充要条件,并得到其非零解空间的维数定理;文献[4]利用四元数矩阵的实分解和循环矩阵的特定结构,借助Kronecker积,得到了四元数体上Sylvester矩阵方程循环解的存在条件及其通解形式;文献[5]给出了Sylvester矩阵方程的一种基于梯度的迭代算法;文献[6]改进了传统的梯度迭代法,给出了求解Sylvester矩阵方程的松弛梯度迭代法,有效地提高了收敛速度。

本文利用Sylvester算子的性质,给出了Sylvester矩阵方程(1)在任意域K上的可解性判定,并介绍求其多项式解的一般形式的一种新方法。

1、Kronecker乘积

1.1Vec算子

定义1设X=[x1x2⋯xm]是一个n×m矩阵,xi是它的第i列。X的Vec算子(拉直矩阵)定义为

公式1

显然,Vec(X)是一个nm维列向量,并且对∀X,Y∈Μn,m(K),有Vec(X+Y)=Vec(X)+Vec(Y)。

1.2Kronecker乘积

定义2[10]设X∈Μn,m(K),Y∈Μp,q(K)。定义矩阵X和Y的Kronecker乘积为

公式2

式中,xij是矩阵X的(i,j)元。显然,X⨂Y是(np)×(mq)矩阵。

定理1[10]设矩阵X,Y,Z的乘积XYZ有定义。于是,Vec(XYZ)=(ZT⨂X)Vec(Y)。

1.3Kronecker乘积的应用

设In表示n阶单位矩阵。利用Kronecker乘积,可将Sylvester矩阵方程改写为

公式(4)

的形式。事实上,由AX-XB=C,有Vec(AX-XB)=Vec(C)或Vec(AX)-Vec(XB)=Vec(C)。因此,Vec(AXIm)-Vec(InXB)=Vec(C)。再由定理1可得

(Im⨂A)Vec(X)-(BT⨂In)Vec(X)=Vec(C)或(Im⨂A-BT⨂In)Vec(X)=Vec(C)。

2、Sylvester算子

设K是任意一个域,多项式f,g∈K[x]。用gcd(f,g)和res(f,g)分别表示f和g的最大公因式和结式;用pA表示方阵A的特征多项式;mA表示A的最小多项式。

定义3设A∈Μn(K),B∈Μm(K)。线性变换

称为关于矩阵A和B的Sylvester算子。

分别是与矩阵A和B可交换的线性变换。令ψ=φA-φ′B,则由定义3可知,ψ(A,B)=ψ。

定义4称C(A,B)={T∈Μn,m(K)|AT=TB}为矩阵A和B的Sylvester(或中心化子)空间[11]。

定理2设A∈Μn(K),B∈Μm(K),ψ=φA-φ′B是关于矩阵A和B的Sylvester算子。于是,对任意的f∈K[x],下列结果成立:

(i)f(φA)=φf(A);

(ii)f(φ′B)=φ′f(B);

(iii)ψk(f(φ′B)(T))=ψk(T)f(B),其中k为任意自然数,T∈Μn,m(K)。

证明对自然数k和矩阵T∈Μn,m(K),分别有

(i)φkA(T)=AkT;

(ii)φ′kB(T)=TBk;

(iii)ψ(T·f(B))=ψ(T)f(B)

成立,所以定理2正确。

推论1设A∈Μn(K),B∈Μm(K),ψ=φA-φ′B是关于矩阵A和B的Sylvester算子。于是,对∀k∈ℕ和∀T∈Μn,m(K),有

ψk(T)=∑i=0kCikAiT(−B)k−i

成立。

证明在ψ=φA-φ′B中,由于φA和φ′B分别是与A和B可交换的线性变换,所以仅需使用二项式公式即可得证。(略)

3、引理

记号同前,引入以下引理:

引理1设A∈Μn(K),B∈Μm(K)。下列陈述等价:

①算子ψ(A,B)=ψ是同构的;

②C(A,B)={O};

③在K[x]中,pA和pB无公共的素因式;

④pA和pB的结式res(pA,pB)≠0;

⑤mA和mB的结式res(mA,mB)≠0。

证明参见文献[12],在此从略。

引理2式(1)的通解可表示为其特解和式(2)的通解之和。

证明设X和X0是式(1)的通解和特解,即

{AX−XB=CAX0−X0B=C

于是,有A(X-X0)-(X-X0)B=O,即(X-X0)是式(2)的通解。故式(1)的通解可表示为其特解和式(2)的通解之和。

引理3[13]设f∈K[x]是一个n次多项式,x是域K上的未定元。于是

1)对所有0≤k≤n,都有Δkf(x)∈K[x];

2)k!Δkf(x)=f(k)(x),其中f(k)(x)是f(x)的k阶导数。

4、Sylvester矩阵方程的可解性

4.1可解性判定

设K是一个代数闭域,A∈Μn(K),B∈Μm(K)。用σ(A)表示矩阵A的所有特征值集合(谱)。文献[3]指出,C(A,B)={O}⇔σ(A)∩σ(B)=∅。下面,将此结论推广到任意域K上,即

定理3Sylvester矩阵方程(1)有唯一解⇔pA和pB无公共的素因式。

证明首先,式(1)有唯一解⇔关于A和B的Sylvester算子同构[11,12]。然后,利用引理1即可得证。

推论2pA和pB无公共的素因式⇔mA和mB无公共的素因式。

推论3式(1)的解空间是一个仿射空间,并且维数等于dimKC(A,B)。

推论4式(1)有唯一解⇔式(2)有唯一解并且为零。

4.2多项式解

设K是任意一个域,f∈K[x]是一元n次多项式,x,y是K上的未定元。用Δkf表示f(x+y)中yk的系数。于是,f(x+y)=∑k=0n(Δkf)(x)yk。现在讨论式(1)的多项式解。

定理4设f∈K[x]是n次多项式,η,ξ∈LK(E)满足η○ξ=ξ○η。若μ=η-ξ,则f(η)=∑k=0nΔkf(μ)ξk。同理,f(η)=∑k=0nΔkf(ξ)μk。

证明因μ=η-ξ,故有η=ξ+μ。在上述f(x+y)的表达式中,用μ代替x,ξ代替y后即可推出结果。

推论5设f∈K[x]是n次多项式,A∈Μn(K),B∈Μm(K),ψ=φA-φ′B是关于A和B的Sylvester算子。于是

f(φA)−f(φ′B)=(∑k=1nψk−1○Δkf(φ′B))○ψ

证明因ψ=φA-φ′B,而φA,φ′B分别是与A和B可交换的线性变换,故由定理4即可得证。

定理5设A∈Μn(K),B∈Μm(K),ψ是关于A和B的Sylvester算子。若矩阵A和B的特征多项式无公共的素因式,则

(a)ψ是一个同构。

(b)存在n次多项式f∈K[x],使得ψ−1=Φ=∑k=1nψk−1○Δkf(φ′B)。

证明(a)由引理1即可得证。

(b)因gcd(pA,pB)=1,故存在u,v∈K[x],使得upA+vpB=1。取f=vpB,容易验证f(A)=I,f(B)=O。于是,f(φA)=φf(A)=I,f(φ′B)=φ′f(B)=O。由推论5可得Φ°ψ=idV,V∈Μn,m(K)。

推论6设A∈Μn(K),B∈Μm(K),C∈Μn,m(K)。若AT-TB=C且gcd(pA,pB)=1,则存在n次多项式f∈K[x],使得T=∑k=1n∑i=0k−1AiC⋅ρk(B),其中ρk(B)=Cik−1(−B)k−i−11k!f(k)(B)是B的矩阵多项式。

证明因为AT-TB=C⇔ψ(T)=C,所以gcd(pA,pB)=1,ψ(T)=C⇔T=Φ(C)。由定理5可知,存在n次多项式f∈K[x],使得T=Φ(C)=(∑k=1nψk−1○Δkf(φ′B))(C)。通过简单计算可以推出T=∑k=1n1k!ψk−1(C)f(k)(B)。最后,由推论1即得所求结果。

推论7若f=∑s=0nasxs,则

T=∑k=1n∑i=0k−1∑s=kngi,s,kAiCBs−i−1

其中,gi,s,k=Cik−1Csk(-1)k-i-1as。

证明若f=∑s=0nasxs,则

f(k)=∑s=knass!(s−k)!xs−k

于是,有

ρk(B)=Cik−1(−B)k−i−11k!∑s=knass!(s−k)!Bs−k= ∑s=kn(−1)k−i−1asCik−1s!(s−k)!1k!Bs−i−1= ∑s=kn(−1)k−i−1asCik−1CskBs−i−1。

因此,T=∑k=1n∑i=0k−1∑s=kngi,s,kAiCBs−i−1。

注:因CpnCqp=CqnCn−pn−q,Cp+1n=n−pp+1Cpn,故

ρk(B)=∑s=kp(−1)k−i−1asCisCs−is−k+1s−k+1kBs−i−1。

参考文献：

[2]周后卿.关于Lyapunov矩阵方程的公共解[J].邵阳学院学报(自然科学版),2017,14(1):6-9.

[3]曾庆怡.Sylvester矩阵方程的解空间[J].韶关学院学报(自然科学版),2018,39(3):1-6.

[4]黄敬频,谭云龙.四元数体上Sylvester方程的循环解及其最佳逼近[J].应用数学,2014,27(2):304-309.

[5]邵新慧,彭程.一类Sylvester矩阵方程的迭代解法[J].东北大学学报(自然科学版),2017,38(6):909-912.

[6]王大宽.一种求解Sylvester矩阵方程的松弛梯度迭代方法[J].长治学院学报,2017,34(2):50-53.

[7]张哲.周期Sylvester矩阵方程的求解及其若干应用研究[D].郑州:华北水利水电大学,2018.

[8]胡文凭,王卫国.耦合Sylvester矩阵方程的改进的梯度迭代算法[J].南京大学学报(数学半年刊),2016,33(2):177-192.

[9]邱红兵.Sylvester矩阵秩等方程的解[J].广东工业大学学报,2009,26(4):11-13.

[10]晏林.矩阵的Kronecker乘积的几个性质[J].云南师范大学学报(自然科学版),2000,20(6):13-14.

[11]刘智慧,刘合国.任意域上方阵的中心化子的维数[J].湖北大学学报(自然科学版),2013,35(2):133-143.

[13]许以超.线性代数与矩阵论[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

陈佳宏,邓勇.关于Sylvester矩阵方程的可解性及其多项式解[J].山东理工大学学报(自然科学版),2020,34(04):63-66.

基金:喀什大学科研基金项目(152568)

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