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探究工科线性代数的教学措施

2020-06-28 366 上传者：管理员

摘要：文章从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面提出了工科线性代数教学策略，其中教师方面包括把握好课程内容的主线、讲清楚概念的内涵与外延、以学生专业为导向设计教学方案等，学生方面包括熟记并理清概念、善于课后总结、区分问题的确定性和不确定性等。

关键词：
代数
区分问题
工科线性代数教学
教学方案
教学策略
课程内容
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数学作为工科院校的一门基础课，对学生学好专业课起着至关重要的作用。通常情况下，工科院校开设的数学课程主要包括高等数学、概率与数理统计、线性代数、积分变换等，在这些课程中，普遍存在“教师难教，学生难学的现象，特别是线性代数，表现得更为突出。教师难教主要体现在课程容量大、教学时间紧、重难点区分不明显、学生学习效果差；学生难学主要表现在概念容易混淆、定理公式理解不到位、逻辑思维易混乱。针对目前这些问题，笔者从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面入手，给出了一些自己的观点和想法，希望能为教师的教和学生的学提供一定的参考。

一、教师方面

工科线性代数教学时间紧、容量大，如何能在短时间内完成大容量的内容教学并取得良好的教学效果，一直是线性代数教师所关注的焦点。而良好的教学策略是学生学好线性代数的基础，对此，笔者认为，教师应该从以下四个方面来把握教材。

（一）教师要把握好课程内容的主线，理解教材、扎实备课

工科线性代数的讲授内容主要集中在五个板块：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间和二次型。首先，教师要通读整个教材，把握好课程内容的主线。目前常见的教材主要有两类：一类以矩阵为主线，如同济大学数学系的教材《工程数学：线性代数》[1]，课本内容从行列式入手，介绍行列式的相关运算方法，然后引入矩阵及相关性质，最后以行列式和矩阵为基础研究线性方程组、向量空间及二次型；另一类以线性方程组为主线，如丘维声编写的《简明线性代数》[2]，通过线性方程组的求解引入行列式和矩阵等相关主题。教师只有掌握好教材的主线，才能有计划、有目的地设计教学方案。其次，教师要恰当把握教材中知识点的深度和广度。如果讲解的知识太深会脱离学生的实际，太浅又会浪费课时，再加上线性代数的课时相对较少，所以面太广会显示不出本课程的特点，面太窄则调动不起学生的积极性，这就要求教师要恰当取舍，合理安排教材内容，创造性地使用教材，对教材内容作适当的取舍和补充[3]。最后，教师要充分利用教材中所提供的例题和课后习题，创新已有的解题方法和解题思路，设计详尽的教学讲稿。一定程度上，讲稿的质量是衡量教师对教学内容理解与否的重要指标。

（二）教师要讲清楚概念的内涵与外延，强调概念之间的区别与联系

概念是人们对事物认识过程中从感性认识到理性认识的升华，并将所感知事物的共同本质特征加以抽象和概括而形成的一种描述。内涵是对一切外延特征的概括，外延则是内涵表述的具体化。概念多而抽象是线性代数的一个重要特征，所以教师讲授概念时应尽可能做到以下几个方面。第一，抓住讲授对象的限定条件和关键词，揭示概念的内涵。线性代数中所研究的对象主要通过概念的叙述呈现，这就要求教师关注其所包含的限定条件和关键词，如线性代数两个最基本的概念：矩阵和行列式。矩阵是一个由m×n个数排成m行n列夹在一对大括号之间所构成的数表，无论如何运算，其结果仍然是一个数表；行列式是一个由n×n个数排成n行n列夹在一对竖线之间所构成的式子，其结果是一个数值。前者限定条件为m×n个数、夹在一对大括号之间，关键词为数表；后者为n×n个数、夹在一对竖线之间，关键词为式子。第二，强调对象的特征划分，进而分清概念的外延。在同一个概念下，根据不同的特征属性可以将其划分为不同的小范畴，在所属范畴内学生更能深刻理解其相关的属性。如矩阵可以根据不同的特征分为不同的类型，根据元素的对称性可分为对称矩阵、反对称矩阵等；行列式根据元素排列可分为对角型行列式、上三角形行列式、下三角形行列式等。第三，理解概念的本质，对相近或相似概念予以区分。课堂教学中，通过概念的具体化、形象化，通过类比、实例分析可以让抽象的东西通俗易懂。如前面所谈及的矩阵和行列式，由于矩阵和行列式的本质不同，两者各有自己的初等变化，矩阵的初等变化为等价变形，而行列式的则是恒等变形。第四，通过知识点之间的联系建立概念之间的联系。如矩阵的逆和秩又可借助行列式求解，故两者之间存在联系。在讲授过程中，如果教师没有强调彼此的不同和联系，学生往往会混用，从而导致计算结果大相径庭。因此，掌握概念的本质、所属范围及彼此之间的区别与联系，对学生深入学习线性代数具有十分重要的作用[4]。

（三）教师要以学生专业为导向设计教学方案，突出线性代数在各专业中的实用性

在工科院校中，由于各专业的教学目标和专业要求不同，所以教师针对不同专业的学生设计不同的教学方案，不仅有利于各学科方向的发展，而且能够调动学生的学习积极性。首先，教师要明确所教学生的专业目标、专业特征及专业需求。线性代数作为工科专业的一门基础课程，与本专业发展密切联系，合理的教学方案能为专业发展提供坚实的基础[5]。其次，教师要掌握线性代数在具体专业的侧重点，合理设置教学情景，突出问题的实用性。例如，交通运输相关的专业，分配和规划问题是学生常常遇到的问题，对应到线性代数方面，分块矩阵的应用、线性方程组的求解应该作为讲授的侧重点，教师应以学生经常遇到的实际问题为背景创设教学情境；而计算机相关的专业，应侧重注重培养学生的建模意识和层次分析能力，在教学过程中融入程序设计的思想，至于计算应简要提及。目前有很多数学软件，如Mathematics、Matlab、Maple等，只要学生能够将问题具体化并列出解题步骤，就可以借助计算机得到自己需要的结果。因此，分专业设计线性代数的教学方案，能让学生深刻地体会该课程在所学专业的具体应用，从而提高学生的学习兴趣和应用能力。

（四）教师要突出线性代数的逻辑性，提高学生在专业学习中的数学素养

数学学习注重培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力，而线性代数作为数学的重要组成部分，充分体现了这一特征[6]。因此，在线性代数教学中为了突出问题逻辑性，首先，教师要讲清楚抽象与概括、分析与综合、归纳与演绎、原因与结果等的关系。由于线性代数的概念抽象，很多问题的提出都是先从特殊的例子出发，通过概括引出一般的情况，如行列式概念的引入等。其次，教师要引导学生掌握问题的上下层次和归属关系。特别是与概念、范围相关的问题，层次和归属是其重要的逻辑特征，如果学生颠倒了这一关系，则问题的论证过程一定会杂乱无章，毫无头绪。所以教师在讲授过程中一定要强调其关系，久而久之，帮助学生养成自觉把握的习惯。再次，教师要强调问题呈现的结构（如一对一、一对多、多对一、多对多等），这有利于培养学生对问题展开论述的能力。问题论证的严密性，在一定程度上就体现在问题论证的结构上。原因在于，通过结构学生可以把握问题的每一个方面，防止论证过程中某些知识点的遗漏。最后，教师对问题的论证过程要步骤明确，做到点与点之间环环相扣。这就要求教师分析问题时做到因果关系顺理成章，对其中遇到的难点要有理有据的通过，或者借助其他的理论、方法及技巧绕过，不能一笔带过，然后结合前面提到的三个方面，给出明确的解题步骤，内容衔接要合理严密。如实对称矩阵的对角化及矩阵n次幂的求解，就充分体现了上述过程。此外，教师在课堂上要有意识地拓展知识点，抛出相应的问题，特别是与专业相关的问题，让学生课后通过查找文献、阅读文献自己解决问题，对个别抽象的问题，教师要在课外给予学生辅导，提高学生的数学知识储备，进而逐步提高其数学素养。

二、学生方面

教师的教与学生的学相互影响，相互促进。对学生而言，教师的教只是一个必要条件，学好工科线性代数的关键是发挥学生的主观能动性。学生的学也并不是简单地学、机械的学，而是要掌握一定方法，是有计划、有目的地学。就工科线性代数的学习而言，笔者认为，学生应该做到以下四个方面。

（一）熟记并理清概念，强化课后训练

线性代数的概念繁多而且抽象，并且多数概念嵌套了前面章节的不同概念。首先，学生要理解概念的本质。无论多么抽象的事物，如果能抓住其本质，在一定程度上就能强化记忆。如向量组的秩，其本质就是不为零子式的最高阶数。其次，学生在课后要及时练习，促进概念的熟记和区分。练习是学好数学类课程的基础，也是加深理解最简洁的途径。练得多自然会熟悉并牢记，从而区分彼此。同时，在练习过程中学生要进行识记、理解再强化记忆。如果一味地死记硬背，只能导致知识的僵化，很难达到活学活用的效果。最重要的是要有目的、有计划、有针对性地练习，做到有的放矢。线性代数教材每章节课后都有大量的练习，如果没有针对性，既浪费时间，也达不到课后巩固的效果[7]。尽管学生在课堂上能很好地接受教师所讲的内容，如果课后没有得到及时地温习和训练，还是很难理解问题的实质。而且熟能生巧，教师通过举一反三加强对所学知识点的掌握和理解，可以做到知其然和知其所以然，到最后知其为之所以然。

（二）善于课后总结，并将所学知识系统化、条理化

在线性代数课程中，每章节都有大量的概念、定理和公式，学生要轻松掌握课程内容，课后应做到以下几点。第一，梳理章节的主要内容，掌握核心定理的证明。每一章节的内容都是通过一些铺垫内容逐步引出核心内容，学生课后应结合教师课堂所讲的内容，重新构建自己的知识框架，抓住主要矛盾，兼顾次要矛盾。此外，由于一些核心定理的证明往往会蕴含一些巧妙的解题方法和解题思路，所以学生要着重理解和掌握，如线性方程组有解的充要条件证明，给出了具体线性方程组有解的判定方法和求解方法。第二，掌握知识点适用的范围，对解题方法和解题技巧进行归纳总结。这就要求学生首先熟悉章节内容，通过对概念、定理、题型的理解确定其适用的范围，然后针对不同的属性进行分类总结，再提炼出相应的解题方法和技巧。第三，联系章节前后的内容，将当前所学的知识系统化、条理化。我们知道，教材中章节前后的内容一般是依次递进、相互关联的，如果学生不将其系统化、条理化，势必会使章节与章节之间割裂，从而影响自身对整个课本内容的理解。如矩阵的求逆，当前的核心内容就是逆的定义（定义法）、求逆的公式法（即），在随后的章节，又引入了初等变换法。定义法适用于结论的证明和抽象矩阵的求逆；公式法适用于低阶数的显式矩阵，也适用于抽象矩阵求解和证明；初等变换法仅适用于一般显式矩阵的求逆。对于工科学生而言，初等变换法较其他的两种方法更为重要。同一个知识点，不能局限于某个特定的范围，可以用不同章节的内容确定和判断。因此，学生只有学会总结知识点，并将其系统化、条理化，才能更好地掌握当前所学的内容。

（三）区分问题的确定性和不确定性，从而加深对相关理论的理解

线性代数中的多数概念、定理都包含了确定性和不确定性的代数特征，如在矩阵的秩、向量组的秩及线性方程组的解结构中都有体现。对此，首先，学生要读懂概念、定理，并将抽象的内容具体化。如矩阵的秩的定义，具体化就是矩阵中不为零子式的最高阶数。那么，矩阵一旦给定，阶数是确定的，相应的秩也是确定的。其次，把握确定性问题的所包含子问题是否唯一。正如前面提到的秩与矩阵不为零子式密切相关，但最高阶数的子式并不唯一，所以确定性问题下包含了不确定性。再次，弄清确定性与不确定性的关系，进而给出具体的求解方法。如秩是唯一的，只要找到其中的一个不为零的最高阶子式即可。显然，要求解该子式只能通过矩阵的初等变换。最后，寻找问题的共性，进行归纳总结。如除矩阵的秩外，向量组的秩与极大线性无关组、齐次线性方程组解空间的维数与基础解系都具有相同的特征。反过来，如果学生对确定性和不确定性把握不够好，那么将导致做题的过程中出现不必要的错误。如矩阵的不为零的最高阶子式和线性变换后等价矩阵的不为零的最高阶子式尽管秩相同，但子式大相径庭。因此，学生在学习线性代数的过程中一定要把握好上述四点，才能深入理解知识点的作用，进而弄清问题的本质。

（四）注重解题的思维方式和逻辑层次，提高解题的严密性和准确性

逻辑性强、概念抽象是线性代数最基本的特征。事实上，通过线性方程组的求解和二次型的标准化就能看出这一点。尽管是同一个问题，但往往有很多概念交错在一起，这就要求学生能够理清问题的头绪，找出问题的突破口，然后按照问题的需要分层次、分步骤求解。在整个过程中，思维方式和逻辑层次就显得尤为重要。因此，首先，学生要认真领会教师所讲内容，特别是考虑问题的方式、方法及解题逻辑层次，学生只有深刻的领会，才能将其变为自己的东西。其次，学生要结合课本上定理的证明、例题讲解深刻理解本章节的内容，重塑自己的思维方式和逻辑关系。最后，学生要通过课后习题有意识检验自己对知识的掌握程度。但是，要摒弃以往生搬硬套的习惯，针对同类型的问题，学生要理清其原理和本质，做到有的放矢。此外，学生可按问题的需要确定解题的步骤和方法，力争做到层次分明、条理清楚，确保每一步论证过程有理有据，从而提高解题的严密性和准确性。

三、结语

对于工科线性代数教学来说，教师要把握所好选教材的主线，理解教材，分清概念的内涵与外延，突出线性代数的实用性；以学生的专业为导向设计教学方案，突出线性代数的逻辑性，才能更好地提高学生的数学素养。对工科学生而言，应该熟记并理清概念，强化课后习题训练，学会归纳总结，将所学知识点条理化、系统化；此外，还要注意知识点所包含的确定性因素，加强思维方式训练，才能更好地掌握工科线性代数的全部内容。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学:线性代数[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]丘维声.简明线性代数[M].北京:北京大学出版社,2002.

[3]陈维新.线性代数简明教程[M].2版.北京:科学出版社,2005:277-279.

[4]薛艳梅,郑柏超.线性代数与理工科专业的联系[J].科技创新导报,2014(26):220.

[5]王维忠,侯海龙,范虹霞.关于工科院校“线性代数”课程教改的若干思考[J].长春理工大学学报,2010(9):142-143.

[6]黄影,张丽华.基于“新工科”的线性代数案例式教学模式的研究与实践[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2019,37(5):467-470.

[7]闵莉花,金正猛,王发兴.独立学院应用型“新工科”人才培养中线性代数课程教学探讨:以南京邮电大学通达学院为例[J].国际公关,2019(9):144.

文飞,李沐春.工科线性代数教学策略[J].西部素质教育,2020,6(11):155-157.

基金:国家自然科学基金资助项目“图谱确定的度序列及相关问题研究”(编号:11961041);甘肃省教育厅资助项目“图的Smarandachely邻点可区别全染色研究”(编号:2017A-021)

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期刊名称：数学的实践与认识

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主管单位：中国科学院

主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院

出版地方：北京

专业分类：科学

国际刊号：1000-0984

国内刊号：11-2018/O1

邮发代号：2-809

创刊时间：1971年

发行周期：半月刊

期刊开本：16开

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