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模逆矩阵的求法及应用探究
摘要：研究了模逆矩阵的存在条件和性质，给出求模逆矩阵的两种方法，通过例题说明求模逆矩阵与传统求逆矩阵的不同之处，最后给出了模逆矩阵在模算术密码系统中的应用和在求解素数模的多元未知数线性同余式组中的应用。
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在通信过程中，特别是在军事、外交、商贸等领域，经常要对语音、数据、图像等信息进行加密和解密，以保障信息的安全。矩阵及线性方程组理论作为应用工具之一，在推广到模算术的密码系统，即由剩余系构成的有限域中时，涉及到矩阵同余和求模逆矩阵的问题。对于该问题，文献[1]研究了剩余类环上的二阶可逆矩阵问题，文献[2]给出了Zm上m阶可逆矩阵的计数问题。本研究将给出模逆矩阵的存在条件和求法，并给出在密码学中和求解多元未知数线性同余式组中的简单应用。
1、预备知识
1.1模m同余
设A=(aij)m×n和B=(bij)m×n是整数矩阵，m是正整数，若
公式1
则称A和B关于模m同余，记作A≡B(modm)。
1.2同余性质
命题1设A和B都是m×n矩阵，满足A≡B(modm),C=(cij)n×r和D=(dij)s×m都是整数矩阵，则有AC≡BC(modm),DA≡DB(modm)。
该性质可由数论同余的性质极易证明，略去。
2、模逆矩阵
2.1定义
设A和B都是n×n矩阵，满足AB≡BA≡E(modm)，其中E是单位矩阵，m是正整数，则称B为A的模m的逆矩阵。
2.2模逆矩阵的性质
命题2若B为A的模m的逆矩阵，且C≡B(modm)，则C也是A的模m的逆矩阵。
事实上，因C≡B(modm)，由命题1得，CA≡BA≡E(modm)，故C也是A的模m的逆矩阵；反之，若B与C都是A的模逆矩阵，由定义2,CA≡BA≡E(modm)，再由命题1可得CAC≡BAC(modm)，又AC≡E(modm)，所以C≡B(modm)。
3、模逆矩阵的求法
3.1伴随矩阵法
定理1设A是n阶方阵，m是正整数，若(,m)=1，则A的模逆矩阵存在，且为。其中A*为A的伴随矩阵，满足≡1(modm)。
证明：若(,m)=1，那么≠0。由伴随矩阵的性质有AA*=A*A=E[3]，又(,m)=1，因此同余式x≡1(modm)有解[4]，设其解为，从而
公式2
这说明A*是A的模m的逆矩阵。
例1设是整数矩阵，且=ab-bc与正整数m互素，则A的模m的逆矩阵为
公式3
例2求模7的逆矩阵.
解：=-2,(,m)=(-2,7)=1，同余式-2x≡1(mod7)的解为3，因此，逆矩阵为
3.2初等变换法
定理2设A是n阶方阵，m是正整数，若(,m)=1，则A可经过矩阵初等变化变为单位矩阵E。
证明：因为(,m)=1，所以≠0，故由A可以初等变化为单位矩阵E。
由此，设P1,P2，…，Ps是初等矩阵，使得P1,P2，…，PsA=E，那么P1,P2，…，PsE=A-1。
例3设(mod26)，求A-1(mod26)。
公式4
在求模逆矩阵时，应注意倍法变换中所乘的数都是整数，逆矩阵中的元素取自模m的非负最小正剩余构成的集合。
4、模逆矩阵的应用
4.1在密码解密中的应用
在模算术密码系统中[5]，经常由26个英文字母对应0-25个非负整数。设多字母密码系统中，明文长度为n的数剧组为x1i,x2i，…，xni，密文中与它对应的是长度为n的数据组y1i,y2i，…，yni,(i=1,2，…，n)，则有
公式5
这n个同余式可以用同余矩阵表示为
公式6
其中X和Y都是n阶方阵，其i行j列的元素分别是xij和yij，若(,26)=1，则得到加密矩阵为
A≡Y(mod26)，满足≡1(mod26),
那么A-1(mod26)就是秘钥。
4.2在求解素数模的多元未知数线性同余式组中的应用
在数论中，求解多个模(两两互素)的线性同余式组的问题，可以用孙子定理。但是对于同一个模的同余式组，可以使用模逆矩阵或者线性方程组理论来解决。
例4求解下列三元同余式组
公式7
解：方法一(用模逆)
系数矩阵为利用上述方法求得A的模逆矩阵的因此，
方法二(方程组理论)
系数矩阵
解三个一次同余式
Dx1≡D1(mod13),Dx2≡D2(mod13),Dx3≡D3(mod13)，得x1≡0(mod13),x2≡4(mod13),x3≡11(mod13)。
5、结论
本研究介绍了模逆矩阵的定义及基本性质，研究了模逆矩阵的存在条件，给出利用伴随矩阵和初等变换求模逆矩阵的两种求法，并通过例题展示了求模逆矩阵与传统的求逆矩阵的差异，给出了在模算术密码系统中模逆矩阵与加密钥的关系和求解多元未知数线性同余式组中模逆矩阵的应用。
参考文献：
[1]韩清,胡永忠.剩余类环上的二阶可逆矩阵[J].佛山科学技术学院学报(自然科学版),2002,20(1):1-3.
[2]张胜元.Zn上m阶可逆矩阵的计数问题[J].福建师范大学学报(自然科学版),1999,15(1):13-15.
[3]丘维声.高等代数[M].北京:清华大学出版社,2010:180-183.
[4]潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,1992:157-162.
[5]WADET,WASHINGTONLC.密码学概论[M].特拉普,译.北京:人民邮电出版社出版,2004:126-140.
翁世有.模逆矩阵的求法及其应用[J].苏州市职业大学学报,2020,31(02):37-40.
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1、基于核心素养视角的线性代数教学改革研究与实践2、三角形网格上形态开闭算子的研究3、浅谈线性代数教学中的直觉思维的培养4、工科数学课程群建设5、培养综合应用能力的离散数学教学改革研究6、疫情期间线性代数课程线上教学模式探索7、线性代数课程应用能力的培养途径和方法研究——以软件工程专业的教学实践为例8、基于独立学院的高等代数教学研究
2020-08-11
“线性代数”是工科类本科生的专业基础课程，其主要处理线性关系问题。课程的内容主要包括基础概念—行列式、矩阵及其运算；基本变换—矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性；以及线性问题分析—相似矩阵及二次型等内容。采用MATLAB解决矩阵特征值问题的相关教学实践论文已有报道[3]，此外，将微课应用到线性代数的教学中也取得了良好的效果[4]。
2020-08-10
独立学院,也常称为独立二级学院,是由公办普通本科院校与社会力量联合举办的相对独立的二级学院.独立学院数量众多,招生人数众多,招生录取分数线普遍较低.为了适应社会发展对人才的需求,绝大多数独立学院的人才培养定位为“应用型”人才.在开办之初,很多独立学院是照搬母体高校的课程体系和教学模式,但是由于独立学院学生的基础较母体高校的学生之间存在着较大差异,教学上很难达到独立学院人才培养的要求,其中数学课程教学中出现的问题尤为突出.
2020-08-10
2020年春季学期，哈尔滨理工大学线性代数课程网络教学如期开课，哈尔滨理工大学理学院数学系线性代数课程教学团队结合学习通平台、微信群和腾讯QQ与学生保持互动学习，并建立基于网络、手机、电脑的教学新模式，基于学校自建课程进行混合式教学，立足本校学生学情和需要，使线上线下的混合式教学很好地衔接。教学模式信息化的改革，增添了教学活力，促进了教学互动，并且较高效率地完成教学任务，达到了教学大纲要求的教学效果。
2020-08-10
外汇储备作为我国关键形式的储备资产,同时又是我国基础货币投放的主要渠道。自1994年我国实行以市场供求为基础、有管理的浮动汇率制度以来,我国外汇储备规模大幅扩大,从2006年开始,我国外汇储备规模位列世界第一,外汇储备的增加有提升国家声誉,吸引外商投资和拉动国民经济等积极影响。
2020-08-04
在线性代数教学中,求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题都可以借助于矩阵特征值与特征向量实现。本文对这些问题进行了归纳与分析,以便学生能够熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法,熟悉特征值与特征向量在线性代数教学中的应用。
2020-06-28
数学作为工科院校的一门基础课，对学生学好专业课起着至关重要的作用。通常情况下，工科院校开设的数学课程主要包括高等数学、概率与数理统计、线性代数、积分变换等，在这些课程中，普遍存在“教师难教，学生难学的现象，特别是线性代数，表现得更为突出。文章从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面提出了工科线性代数教学策略。
2020-06-28
目前,关于连续函数空间中基于框架的构造、性质、函数空间刻画及其在信息处理中的应用已经得到了完善与发展。然而,在实际应用中,由于输入/输出数据和滤波器都是离散的,所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的。基于数字的框架又名为离散空间中的框架,并不一定能够通过连续环境中的框架离散化得到,即使可以得到,也必须附加许多条件。
2020-06-28
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2020-06-28
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2020-06-28
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期刊名称：数学的实践与认识
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0984
国内刊号：11-2018/O1
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创刊时间：1971年
发行周期：半月刊
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2020-06-28
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