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环上二阶反三角块阵的群逆研究
摘要：研究环上几类二阶反三角块阵的群逆.通过一般环上矩阵群逆存在的条件，利用环上矩阵群逆的各种性质，讨论这些矩阵群逆的存在性，给出其充要条件，在群逆存在时给出确切的群逆表达式，并给出具体例子.推广了相应文献的结果.
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引言
群逆是广义逆中的D(Drazin)逆的一种特殊情形，它在线性微分方程、遍历链、非遍历链以及吸收链上都有重要应用[1]．广义逆的发展日趋多元化，D逆也一样．D逆的定义最初是在一般环和半群上给出的，后面引出两个重要的研究方向，一个是Banach代数、C*—代数或Banach空间的算子的D逆，另一个是各种域、除环或一般环上分块矩阵的D逆[2]，在这两个方面都有大量的研究结果，参见文献[3,4,5]．研究二阶分块矩阵的D逆和群逆在1979年就已经开始[1].1983年为了给出一类二阶线性微分方程的解的具体公式，Campbell等[6]在文中提出计算一类二阶分块矩阵的D逆，自此出现了对二阶三角块阵的D逆和群逆的更多研究．记M为(1,1)、(1,2)和(2,1)块位置分别为A、B、C的二阶反三角块阵．对任意的A、B、C来说M的群逆未必存在，或即使存在也很难给出其存在的充要条件和群逆的确切表达式，所以已有的结果多在A、B、C满足一定的关系时研究．与本文相关的结论有:(1)B=C,B#存在，且BABπ=O时，赵杰梅和卜长江[7]在除环上给出了M#存在的充要条件和M#的具体表达式，曹重光等[8]将此结果推广到了右Ore整区上;(2)A=BX且秩B≤秩C时，曹重光等[9]在除环上研究了M的群逆问题，随后葛艳玲等[10]将结果推广到了右Ore整区上;(3)文献[9]还在除环上研究了A=BXC时M的群逆问题．
设R是一个含1结合环，Rm×n表示R上所有m×n阵构成的集合．I代表单位矩阵(其阶数可由上下文得出)．对矩阵A来说如果存在矩阵G使得AGA=A,GAG=G,AG=GA，则称A有群逆，并称G是A的群逆．易知，若A有群逆则唯一，记为A#，此时记Aπ=I-AA#．设A∈Rm×n，记R(A)={Axx∈Rn×1}，Rr(A)={yAy∈R1×m}．本文将在R上继续研究上面三种条件下M的群逆问题，其中第一种条件下的结果也是对文献[5]和[8]中第二个公开问题的解答．由于一般环上不宜谈秩，故上面的第二个条件换为A=BX,R(B)=R(BC)且Rr(B)=Rr(CB).
1、引理
首先介绍几个后续证明需要使用的结论．
引理1[11]对矩阵M来说，若存在X、Y使得M=M2X=YM2，则M群逆存在．
引理2[12]设M∈Rn×m,N∈Rm×n，若R(M)=R(MNM),Rr(M)=Rr(MNM)，则MN、NM都有群逆，且
公式1
引理3设C∈Rn×m,B∈Rm×n，若R(B)=R(BC),Rr(B)=Rr(CB),R(C)=R(CB),Rr(C)=Rr(BC)，则BC、CB都有群逆，且C(BC)π=O=(CB)πC,B(CB)π=O=(BC)πB.
公式2
2、主要结论
定理1设,A,B∈Rn×n．若B#存在且BABπ=O，则
1)M#存在当且仅当(ABπ)#存在;
2)若M#存在，则，其中
公式3
公式4
再由式(4)和式(7)知AXBB#+BUBB#=BB#=B#B=B#BAX+BU．从而
公式5
即(AX+BU)Bπ=BπAX．再联合式(1)可得XABπ=BπAX，进而有XABπABπ=BπAXABπ和
公式6
公式7
最后由式(8)及引理1推出(ABπ)#存在．
1)的充分性和2)．注意到BABπ=O可推出BπABπ=ABπ，应用引理2类似于文献[8]中类似结论的证明可得结论．
类似定理1的证明可得如下结论．
公式9
公式10
由式(13)和式(15)可得R(C)=R(CB),Rr(B)=Rr(CB)．另外由式(12)和式(14)可得B=BCY，即R(BC)=R(B)，再由式(16)和式(17)可得C=UBC，即Rr(C)=Rr(BC).
1)的充分性和2)．若R(B)=R(BC),Rr(B)=Rr(CB),R(C)=R(CB),Rr(C)=Rr(BC)，则由引理3知CB都有群逆，且(CB)πC=O,B(CB)π=O.
公式11
公式12
证明1)的必要性．若M#存在，则M#M2=M=M2M#．记，则
公式13
公式14
由式(18)可知R(C)=R(CB)．而由式(19)和式(20)可得UBC=C，即Rr(C)=Rr(BC).
1)的充分性和2)类似于定理2此部分的证明．
3、算例
下面给出几个应用上面结论计算群逆的例子．下面谈到的矩阵全为模6的剩余类环上的．
例1设，则B#=B,BABπ=O．于是根据定理1得
公式15
公式16
公式17
公式18
参考文献：
[2]林梅羽.Banach空间中线性算子的Drazin广义逆[J].赤峰学院学报(自然科学),2016,32(1):1-3.
[3]郭丽.算子矩阵广义Drazin逆的表示[D].长春:吉林大学,2010.
[4]朱辉辉.环上元素的Moore-Penrose逆及Drazin逆[D].南京:东南大学,2016.
生玉秋.环上二阶反三角块阵的群逆[J].湖北民族大学学报(自然科学版),2020,38(02):181-184.
基金:国家自然科学基金项目(11771069;11526084)
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1、基于核心素养视角的线性代数教学改革研究与实践2、三角形网格上形态开闭算子的研究3、浅谈线性代数教学中的直觉思维的培养4、工科数学课程群建设5、培养综合应用能力的离散数学教学改革研究6、疫情期间线性代数课程线上教学模式探索7、线性代数课程应用能力的培养途径和方法研究——以软件工程专业的教学实践为例8、基于独立学院的高等代数教学研究
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2020-08-10
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在线性代数教学中,求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题都可以借助于矩阵特征值与特征向量实现。本文对这些问题进行了归纳与分析,以便学生能够熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法,熟悉特征值与特征向量在线性代数教学中的应用。
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2020-06-28
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期刊名称：数学的实践与认识
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0984
国内刊号：11-2018/O1
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创刊时间：1971年
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