有关以矩阵理论和图论为基础的系统层次结构划分的研究

2020-05-01 474 上传者：管理员

摘要：为使评估者及决策者通过层次分析方式开展定量研究更加便利，系统层次结构基于有向图同邻接矩阵存在的关联性，利用结点的度以及邻接矩阵所具有的运算性质，实现了有向图当中含有的结点彼此存在的序关系到系统关键元素此次的层次结构的转化。文章对于模型的分类、机构模型及建模的具体流程进行了阐述，为今后深入分析以图论及矩阵理论为基础的系统层次结构划分提供有利依据。

关键词：
图论
矩阵理论
系统层次结构划分
结构模型建模
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层次分析法是一种将融合了定性分析与定量分析的多目的决策分析方式，其把个人主观层面的判定等属于定性分析的内容转变为可予以量化的内容，然后加以研究，尤其是在目标丰富、无法量化且多准则的大规模复杂系统中的运用价值更为明显，在该理论成型之后，便被广大学者所认可，便开始运用关于数据分析工作之中。该评估方法可以结合问题形式之间的差异以及评估工作的现实需要，将有待分析的不同问题进行更为详细的划分，从而细化为多种类型的构成要素或是评价指标，结合要素彼此存在的关联性或是存在主从关系，将归纳所得的要素分解为不同层次，构建多个层次、且层次之间关系明晰的模型。为此，以图论与矩阵理论为基础的系统层次结构划分也受到学者的普遍重视。

一、模型分类

模型的建立为定量研究的进行提供了必要条件，模型建立较为常见的方式主要有模糊模型以及统计预测模型等不同类型的模型。结构模型是最为常见的一种模型种类，是融合了图论与矩阵模型的技术，具体用以反映大规模繁杂系统在结构方面的特征，该模型应该归属于定型模型之中的一种，同时也是定量研究进行必不可少的一个条件。

二、结构模型建模流程

（1）绘制有向图。所谓有向图指的是从点同连接点的枝所

构成的图形，枝本身具有方向性，通过带有指向性的线段或是弧段展现彼此之间的关系，节点V={vi|i=1,2,3……,n}代表该系统之中存在的必备影响因素，枝E={ek=（vi,vj）|i,j=1,2,3,……,n；k=1,2,3,……,p}代指所有要素彼此具有因果联系，也可表示所有要素之间在层次方面具有的关系，Si与Sj均代指节点，SiRSj代指要素Si针对Sj而言，彼此存在关联R，SiRSj=1证明节点i→j之间具有带有指向性的弧连接，SiRSj=0代表节点i→j之间不具有带有指向性的弧连接。然后，借助科学的推理，把要素之间存在的关系通过有向弧予以连接。如图1所示。

图1公交客流量影响因素的有向图

（2）写明邻接矩阵。邻接矩阵与有向图在功能方面较为

相近，其目的是用过反映不同影响因素处在的关联性，而矩阵需要把将全部影响因素以此进行比较，把输出（即产生作用）影响因素作为行，而输入（即受到的作用）影响因素作为列，如果存在两个要素Si、Sj彼此存在关系时，取值为1，若不存在关系则取值为0，如此，矩阵之内各个元素便可列出如下关系：

之后结合两项的有与无，通过总结以邻接矩阵A=（aij）的形式予以表示。

（3）计算可达矩阵

计算过程中，计算矩阵A同单位矩阵I的总和，从而获得A+I，然后针对A+I予以幂运算，即A+I，（A+I）²……等，幂运算是依照布尔矩阵运算法则开展的，即1+1=1，1+0=0，0+0=0，1*1=1，0*1=1，0*0=1。

如果满足M=（A+I）n+1=（A+I）n≠……≠（A+I）²≠A+I，则矩阵M=（A+I）n便属于可达矩阵，可达矩阵可以反映各个影响因素彼此存在的所有关联性，如果可达矩阵M元素mij计算结果为1，则证明影响因素Si至Sj之间存在一步或是多步便能够达到的途径。

（4）要素之间的层次划分

从要素Si角度出发可以到达的要素Sj集合即为可达集合，记作Q（Si），可达集合可以借助寻求可达矩阵M第i行之上值为1的要素构成，也可到达要素Si的要素Sj集合即为先行集合，记作P（Si），先行集合能够借助查找可达矩阵M第i列之上值为1的元素构成，且如果符合足P（Si）∩Q（Si）=Q（Si）的条件，证明从其他要素能够到达要素Si，但从该要素却无法到达其他要素，即符合足P（Si）∩Q（Si）=Q（Si）的要素处于系统层次结构之中相对较高的位置。之后，就原本可达矩阵M之中删除P（Si）∩Q（Si）=Q（Si）元素相应的行与列，便可获得矩阵M’，然后不断持续该处理方式，确认不同层次结构并将不同要素分配至对应的层次之中。通过上述分析流程可得，针对M=A+I，如果元素之间

故而针对包含有n个要素的有效图，若i→j可到达，则最多仅需要n-1步，不然i→j之间便无法达到。

（5）绘制层次结构图

明确各个层次之后，理应结合区域、关联性以及层次等各个方面的需要，针对可达矩阵的行以及列予以合理的调节，以便令可达矩阵M各行各列按照层次的顺序需要予以分布，该方式能够将可达矩阵合理分布为分块三角矩阵，因为可达矩阵M内之中不同类型的元素值属于自带有指向性的弧段所表现的相邻层次必要因素之间关联性以及统一层次要素之间关系转变所得，所以能够利用层次结构模型以反映系统当前的层次结构。

三、结语

本文以图论以及矩阵理论为基础，讨论结构模型建模流程，以便为评估者以及决策人员灵活借助层次分析方法明确系统的各个层次，同时针对其是否有效予以评估奠定了良好的基础，对该方式的推广而言具有积极意义。

参考文献:

[1]于彬,王相臣.系统论视阈下现场物证的层次结构分析[J].系统科学学报,2019(2):99-102.

[2]王延翔,杨金民.基于分层分类的J2EE应用系统异常处理方法[J].计算机应用研究,2015,32(3):776-780.

王琳.基于图论及矩阵理论的系统层次结构划分[J].计算机产品与流通,2020(04):286.