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实例说明微积分教学中口诀的应用

2020-05-01 1017 上传者：管理员

摘要： 数学的学科特点是公式多、计算量大、理论性强、逻辑思维缜密等，这一学科学习伴随人们的从小学到大学的整个学习过程，在学生学习微积分的过程中往往产生畏惧情绪。作者结合教学经验，把微积分中的重点、难点和易错点以口决的形式展现出来，不但使学生的学习兴趣得到了提高，且活跃了课程气氛，取得了显著的教学效果。在学生的学习过程中口决起到了至关重要的辅助作用。

关键词：
函数
口诀
微积分
极限
求导
积分
级数
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口诀具有音律性，方便记忆。老师若能将内容的重点或难点精练成口诀，利用学生熟悉的语言，使重点和难点知识变得生动有趣，则对调动学生的学习兴趣和积极主动性有非常大的帮助。[1］在微积分的第一次课，我会将微积分这门课程中的主要口诀列出来告诉学生，要他们时常读一读，口诀如下[2］:

关于函数这一章的口诀:函数概念三要素，定义关系最核心;奇偶函数常遇到，对称性质不可忘;幂指函数最可爱，指数对数一起上;经济函数要记牢，章章不离其身影;分段函数分段点，左右运算要先行。

关于求极限这一章的口诀:分段函数要注意，分段点处最关键，左右运算要先行;极限为零无穷小，乘有限仍无穷小;待定极限多类型，分层处理洛必达;数列极限洛必达，必须转化连续型;和式极限逢绝境，转化积分见光明;无穷大比无穷大，最高阶项除上下;n项加减必合并，否则估计上下界，变量替换是一法，由繁化简要找它;递推数列求极限，单调有界必先证，两边极限共同上，方程之中极限求。

关于求导数及偏导的口诀:切线斜率是导数，法线斜率负倒数;可导可微互等价，它们都比连续强;分段函数分段点，左右运算要先行;有理函数要运算，最简分式要先行;高次三角要运算，降次处理要先行;多元复合求偏导，链锁公式不可忘;多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。关于微分中值定理的口诀:函数为零要证明，介值定理定方向;导数为零欲证明，罗尔定理负责任;函数之差化导数，拉氏定理显神通;导数函数合(组合)为零，辅助函数用罗尔;寻找ξ，η无约束，柯西拉氏先后上;寻找ξ，η有约束，两个区间用拉氏。

关于导数应用这一章的口诀:单调递增与递减，先判导数正与负;凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点;端点、驻点、非导点，函数值中定最值;

关于积分这一章的口诀:凑微分法经常用，微分公式要熟背;第二换元去根号，规范模式可依靠;分部积分难变易，弄清u、v是关键;变限积分是函数，遇到之后先求导;变限积分双变量，先求偏导后求导;定积分化重积分，广阔天地有作为;多重积分要计算，累次积分是关键;积分顺序要交换，必先画出积分图。

关于级数内容的口诀:无穷级数判收敛，部分和后求极限;正项级数判别法，比较、比值和根值;幂级数求和有妙招，公式、等比、列方程。下面我从三个方面来谈口诀在微积分教学中的具体应用。

一、章节未始，口诀先熟

以口诀的形式总结重点章节的内容，方便学生记住该章的内容，从而减少学生的畏难情绪，同时会引起学生探究新知的兴趣。一般在上一章节内容快讲完时，我会将下一章节的口诀发给学生，要求学生先熟读成诵。如当我快要结束极限这一章时我就将导数及导数应用的口诀发给学生，这个口诀会比上述口诀更详细些，其口诀如下:

导数定义是关键，因变增量正亦负，某点导数若存在，函数该点处连续。分段函数要注意，分段点处最关键，左右运算要先行;求导公式必牢记，复合函数逐层导;幂指积商用对数，隐函求导路数多，微分、公式、直接法。导数应用可重要，洛必达法则陷阱多，未定极限类型多，分层处理洛必达。一阶导，判单调，二阶导，求拐点，判凹凸。端点、驻点、非导点，函数值中定最值。

这一口诀体现了导数及导数应用的主要内容和主要方法，“导数定义是关键，因变增量正亦负，某点导数若存在，函数该点处连续”指出了导数定义的重要性;“分段函数分段点，左右运算要先行”指出分段函数在分段点处的可导性判断应特别注意要进行左右导运算，“求导公式必牢记，复合函数逐层导;幂指积商用对数，隐函求导路数多，微分、公式、直接法”概括了几种求导方法;“导数应用很重要，洛必达法则要用好，待定极限多类型，分层处理洛必达”表明了洛必达法则求极限是导数的应用之一;“一阶导数判单调，二阶导数求拐点、判凸凹”这句口诀说明了一阶导数及二阶导数的作用;“端点，驻点，非导点，函数值内求最值”这句口诀说明了求最值的方法。学生掌握这个口诀后，对本章的主要内容会有一个大概了解，会为后续的学习打下坚实的基础。

二、重要定理，口诀助力

在讲导数的应用前必须要讲到中值定理，且这三个定理有相似之处，容易记混。此时，我会使用相应的口诀，便于学生记忆和理解。微分中值定理有三个:罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，这三个微分中值定理的条件中相同的部分也有不同的部分。结合三个定理的特点，可用如下口诀:闭连开导同要求，端值相等为罗尔，切线必是水平线;端值不等是拉氏，此时切线未必平;两个函数比端点，柯西导数来替换;罗尔、拉氏、柯西点，未必同一区间里。该口诀将微分中值定理的相同点和不同点区分开，并强化了该定理的几何意义，对学生加深中值定理的认识和应用是非常有利的。

三、重要方法，口诀解疑

在微积分中，极限、导数、积分、微分方程等知识占非常重要的地位，很多计算方法、解题方法是学习的重点和难点。以分部积分法求不定积分为例，分部积分公式:

当被积函数是两个函数相乘时，应该将哪个函数选作u(x)，哪一个函数通过换元变成v(x)，这是运用公式的重点。选取u(x)和v(x)时要考虑v(x)du(x)较u(x)dv(x)更容易计算。一旦解题思路选择错误，会使积分变得很复杂且越算越难，甚至很难得出结果，故正确选择出u(x)或v(x)至关重要。因此有主要口诀:分部积分难变易，弄清u(x)、v(x)是关键，但该口诀并没有具体说明如何弄清它们，因此还要补充其它口诀来解决这个问题。

口诀一[4］:“反对不能碰，三指试一试”。口诀中的“反”表反三角函数，“对”表对数函数，“三指”表指数函数、三角函数及幂函数。此口诀说明遇到反三角函数或对数函数时要将它选为u(x)，千万不能将它进行换元变成v(x)，应选“三指”进行凑微分变形为v(x)。这个口诀的不足之处是没有明确指数函数、三角函数、幂函数互乘时如何选取，因此提出下面这个口诀补充。

口诀二:“指三幂对反，谁后谁为u(x)”。这个口诀说明指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数两两相乘时，按指三幂对反的顺序谁在后谁就选择为u(x)，另一个变形为v(x)，这个口诀非常好地解决了五类基本初等函数分部积分的问题。现举一个例子来说明，例如xarctanxdx中，x为幂函数，arctanx为反三角函数，因按“指三幂对反”的顺序，故应arctanx将作为u(x)，x变形为作为v(x)。