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有关微积分里多元函数极值问题的研究

2020-05-11 588 上传者：管理员

摘要：多元函数微分学在微积分内容中具有重要的地位，多元函数的极值问题一直是微积分中的重要问题，需要结合具体的情况进行分析，通过实例对函数的极值与弱极值进行对比分析，提出了多元函数极值求解过程中的具体策略与注意问题。

关键词：
多元函数
微积分
极值
高等数学
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多元函数微分学是微积分的一个关键性的内容，在具体的分析中，它涉及的变元从一个变为多个，变量之间往往会存在一个多重的现象，这样也就会产生多元函数微分学之间存在不同的性质与特点，微积分的多元函数极值问题主要包括条件极值与无条件极值，在具体的学习中需要特别注意与分析。

1、多元函数极值的内涵分析

在微积分的学习内容中，一般的教科书，对于多元函数极值的概念都有定义，具体的定义方法都比较笼统，给出的定义如下：定义1：如果存在函数z=f（x，y）在坐标系内，存在点（x0，y0）处及其附近都存在定义与相应的值，对于该点中存在一个不同于（x0，y0）的点（x，y），存在如下情况：

（1）如果存在f（x，y）燮f（x0，y0），那么z=f（x，y）在坐标点（x0，y0）存在极大值f（x0，y0）。

（2）如果存在f（x，y）叟f（x0，y0），那么z=f（x，y）在坐标点（x0，y0）存在极大值f（x0，y0）。一般情况下，将极大值与极小值统称为为多元函数的极值。

但是，在具体的运算过程中，往往需要对极大值与极小值进行详细的分析，将其分为极值与弱极值问题等进行探究，它们的定义方式如下：

定义2：设存在函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处及其附近都存在定义与相应的值，对于该函数中存在一个不同于（x0，y0）的点（x，y），存在如下情况：

（1）如果存在f（x，y）<f（x0，y0），那么，函数z=f（x，y）在坐标点（x0，y0）存在极大值，而且极大值趋向f（x0，y0）。

（2）如果存在f（x，y）>f（x0，y0），那么，函数z=f（x，y）在坐标点（x0，y0）存在极小值，而且极小值趋向f（x0，y0）。

定义3：在判断函数z=f（x，y）在点（x0，y0）附近的极值问题时，若将定义2中的不等式判断条件f（x，y）<f（x0，y0）（或者f（x，y）>f（x0，

y0））的值进行调换为f（x，y）燮f（x0，y0）或者f（x，y）叟f（x0，y0）时，则可以判断函数称z=f（x，y）在点（x0，y0）处存在弱极值。

这样，通过对函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的极值问题进行转换，在实际的应用中，就可以十分方便的对微积分里的极值问题进行处理。在上述的定义中，二者的区别主要在于“<“与“≤“之间，但是能够充分地显示函数的变化规律以及问题处理的技巧。例如，函数z=3x2+4y2在坐标空间中，存在有极小值z=0，存在的坐标点为（0，0）。

在判断该函数的极值问题时，可以采用如图1所示的图像进行进行判断，在坐标（0，0）点时，存在极小值z=0，而对于点（0，0）的相邻近区域内不同于（0，0）点，都存在z>0恒成立的情况。再例如，函数z=（x-y+1）2对于直线上x-y+1所有点，都有z=0恒成立，故存在z叟0恒成立，因此，函数z=（x-y+1）2相对于直线x-y+1的各个坐标点来说，存在弱极小值z=0，具体的函数图像如图2所示。

通过上面的分析可以看出，在定义1中，分析了微积分多元函数极值的现象，在该极值中，将函数的极值的峰值与弱极值都包括在函数之内，在一般地的教科书中，往往只讨论函数的极值，而不讨论函数的弱极值，而在定义2内，详细地对函数极值与弱极值问题等进行了分析讨论，在这里不要因为忽视“≤”与“<”之间的区别，而认为定义1与定义2的内容一致。

2、多元函数的无条件极值与条件极值问题分析

2.1无条件极值与条件极值的概念

微积分里多元函数的极值问题是普遍应用的现象，如果按照函数自变量来划分，极值问题还可以划分为无条件极值（也称为普通极值）和条件极值两种类型，二者的具体描述方式，可以描述为：（1）在不存在任何约束条件下，求函数z=f（x，y）的极值问题，也就是求

函数的普通极值；（2）在一定条件φ（x，y）=0下，求函数z=f（x，y）的极值问题，这就是有条件下的函数极值问题。通过描述可以发现函数无条件函数极值问题与有条件函数极值存在一定的区别，对于二者之间的定理。

2.1.1无条件函数极值问题的求法

定理1（判断多元函数存在极值的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处存在偏导数，而且函数在点（x0，y0）处存在极值，那么该函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的偏导数为零，即：fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0而满足条件的偏导数fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0的点（x，y）称为函数z=f（x，y）的驻点。

定理2（判断多元函数存在极值存在的充分条件）如果函数z=f（x，y）在坐标点（x0，y0）处的某一个邻域范围内存在一阶以及二阶连续的偏导数，而且存在fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，假设：fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C那么函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处，存在如下关系：

（1）当AC-B2>0并且A<0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处存在

极大值；

（2）当AC-B2>0并且A>0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处存在

极小值；

（3）当AC-B2<0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处存在极小值；

（4）当AC-B2=0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可能有极值，也可能没有极值，要求能够根据具体情况而定。在利用上述两个定理对具有二阶连续偏导数z=f（x，y）的极值问题进行求解时，可以按照下述的步骤进行：第一步，首先要求出方程组fx（x，y）fy（x，y≤）的所有实数解，然后就可以求出函数z=f（x，y）的驻点（x0，y0）；其次，结合求出的驻点（x0，y0），求解出函数z=f（x，y）的二阶偏导数值A、B、C；再次，结合A、B、C的值，求出AC-B2的符号，然后结合定理2的具体结论，判断f（x0，y0）是否为函数z=f（x，y）的极值，并判断该极值是最大值还是最小值。

2.1.2条件极值的求法

条件极值问题的问题在具体的解决也有两种方法，第一种方法是将条件极值转化为无条件极值来求解，然后结合相应的定理来求解出函数的极值，在解决问题时，首先是将函数φ（x，y）=0带入函数，求解出函数y=Ψ（x），然后，将函数值带入到函数z=f（x，y）中，就可以得到函数z=f[x，Ψ（x）]，然后，再采用普通的方法求出函数的极值。第二种方法就是采用拉格朗日乘数法来求出函数的极值，就是在一定φ（x，y）=0条件下，将函数z=f（x，y）极值问题解决方法带入到拉格朗日函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）中，然后，采用这种方法来解决函数z=f（x，y）的普通极值。具体解决问题的方法如下：第一步，根据给出的函数条件φ（x，y）=0以及具体的目标函数z=f（x，y）来做出函数的拉格朗日函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）中，其中的常数λ为待求的函数系数，然后根据拉格朗日函数做出相应的方程组，来求取函数的极值：

Lx（x，y）=fx（x，y）+λφx（x，y）=0

Ly（x，y）=fy（x，y）+λφy（x，y）=0

φ（x，y）=

≤0

就可以求出函数的实数解（x，y）的值，这时求得λ所得的点（x，y）就是函数z=f（x，y）在点φ（x，y）处的可能极值。

2.2函数极值问题的判断

在求多元函数的极值问题时，要能够根据问题的性质来判断求得点（x0，y0）的值是否满足极值的条件。在具体的求解过程中，要注意容易出现混淆的问题，有时，人们将由方程组解得的点（x，y）的值总称为函数的驻点，那么这个驻点到底是哪个函数的驻点，结合函数的拉格朗日函数的乘法所得到的L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），该点应该是函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）的驻点，而得到的不是函数z=f（x，y）的驻点值。因此，在判断函数z=f（x，y）的驻点时，不能简单的运用定理2来判断函数z=f（x，y）的极值问题。采用拉格朗日乘数法来求函数的极值问题是有条件限制的，在确定方程组求得的点（x，y）的值，在一般情况下，只能作为函数的可能极值点，而且这种极值点能否作为条件，还需要结合具体的实际情况来判断函数的极值，同时也要根据函数的实际意义来判断函数的极值。函数z=f（x，y）的条件极值与无条件极值的求解还在于需要将函数的定义域考虑在内，以判断它在函数的定义域内是否存在极值，如果在自变量加上限制条件以后，就有可能存在函数的极值问题，这点要求慎重考虑。

3、结束语

微积分里多元函数的极值问题是普遍应用的现象，在具体的极值求解的过程中，要能够结合具体的情况进行判断，特别需要注意极值与弱极值之间存在的区别，充分的考虑自变量的变化对函数极值的影响，只有这样，才能有效的、合理的求解微积分多元函数的极值。

参考文献：

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