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探讨课程教学中流体运动描述的方法
摘要：笔者结合体力学课程教学经验和体会，会对流体运动描述的Lagrange方法和Euler方法及如何正确理解两种方法变量之间的转换进行探讨。深入浅出、形象生动地将基本概念表达清楚，并对连续介质假设进行详结的论述。以期助力于学生的学习及老师对流体力学的讲授。
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流体力学是一门重要的专业基础课。在对该课程的学习过程中，很多学生反映该课程内容抽象、不好理解，其原因是多方面的。教材中有些概念的表述比较抽象也是原因之一。如何深入浅出、形象生动地将基本概念表达清楚，是流体力学教学的一个重要任务，也一直是学者们关注的问题。本文针对流体运动描述的Lagrange方法和Euler方法及其相互转换的教学进行探讨。
流体运动的描述方式有Lagrange方法和Euler方法&T。Lagrange方法对流体质点进行描述，数学式表达为公式（1）。
其中2=1，2，3分别表示x，y，z方向，丄0&=zoi，0o2，巾3为to时刻流体质点的标号，式（1）表示％时刻标注的不同流体质点在随后的不同时刻在流场中的运动规律。
而Euler方法描述的是流场空间位置的物理量的变化规律，以流场速度为例，数学表达式为公式（2）。
其中2=1，2，3分别表示x，y，z方向，这里的表示空间位置坐标，式（2）表示不同空间位置点流场速度在不同时刻的变化规律。
以上概念大多数学生能够较好地理解，但涉及到两种方法变量之间进行转换的时候，多数本科生甚至一些硕士研究生会感到非常抽象，难于理解。一般教材很少提及两种方法变量之间的转换，文献［3-4］中表述也过于简单。为正确理解两种方法变量之间的转换，本文认为应从以下几点进行讲解。
首先需要理解流体力学中连续介质的假设。连续介质假设是描述流体非常好的近似。连续介质模型认为，物质连续地、无间隙地分布于物质所占有的整个空间同，这个假设为建立流体中的点的概念奠定了基础。按连续介质假设，每一个流体质点都占据一个空间几何点，流场的每一个空间几何点上也必有一个流体质点，这样质点和空间点形成一一对应关系。因此，流体质点可以理解为数学意义上瞬间的点的概念，而不应和质点的变形与旋转等混淆在一起，使之变得更加晦涩难懂。
Euler方法是把流体运动视作流场随时间的变化，即流速空间分布的时间变化。而Lagrange方法是描述流场中每一个运动的流体质点的物理量随时间的变化。根据连续性假设，这两种变量存在一一对应关系，是可以转换的。
先看Lagrange变量转换为Euler变量。由式(1)表示的各流体质点在运动中到达的位置坐标为;T"求出各坐标的时间导数，显然就得到各流体质点的流速，即公式(3)在某一时刻t来看，也就是在静态地观察流场时，式(3)表示的是流体质点的流速，同时各质点在流场中一一对应地占据了空间位置，这时的流体质点是to时刻标注的不同流体质点经过一段时间运动到目前位置的，式(1)表示的正是流体质点在t时刻到达目前的空间位置坐标业。因此，把式(1)左边的矶当作流体质点目前所占据的空间位置，就实现了由流体质点到空间点的转换，也即由Lagrange变量转换成为Euler变量。转换公式为公式(4)式中的XOk(Xi，t)即为to时刻标注的流体质点经过t时刻到达的空间位置，由式(1)的反函数求出。从数学上来说，式(1)的雅可比行列式是一个有限大的正数，也一定存在反函数。
同样，也可把Euler变量转换为Lagrange变量。式(2)描述的是流场空间位置的物理量的变化规律，其中坐标矶表示的是空间位置点。同时该空间位置点一一对应着流体质点，该流体质点是to时刻标注的流体质点经过t时刻运动到了目前位置。而式(1)的Lagrange描述记录的正是流体质点经过t时刻到达的位置，把式(2)中的矶当作t时刻流体质点到达该空间点的位置坐标，就实现了由空间点到流体质点的观点的转换，也即由Euler变量转换成为了Lagrange变量。转换公式为式(5)表示在to时刻标注的流体质点运动到t时刻的速度，由此可求出to时刻的空间位置，即Lagrange描述。
求解方法为积分公式dxi/dt=vt=由此得到包含三个方程的一阶常微分方程组的解，按t = t。时刻的条件％=xOi来确定积分常数，就找到了to时刻标注的流体质点的运动规律。通过以上较为形象的讲解，再举几个例子进行演练，就可使学生对两者之间的转换认识清楚，使教学过程收到良好的效果。本文所述教学方法，可以形象地阐述流体力学连续介质运动的时空观，这是初学流体力学时学生需要准确掌握的重要基本概念。通过以上深入浅出的讲解，使抽象、难懂的基本概念变得更加具体化，更便于学生理解和掌握。这样，难懂难学的流体力学就变得生动易懂，从而积极调动学生学习流体力学的热情。
参考文献：
[1]孟庆昌,邓辉,王冲等.问题导入式教学法在流线伯努利方程讲授中的应用.力学与实践,2019,41(1):99-103.
朱贞卫,王发辉,王华.流体力学课程流体运动描述的教学方法[J].力学与实践,2019,41(5):612-614.
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2020-08-10
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期刊名称：应用力学学报
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主管单位：国家教育部
主办单位：西安交通大学
出版地方：陕西
专业分类：科学
国际刊号：1000-4939
国内刊号： 61-1112/O3
创刊时间：1984年
发行周期：双月刊
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2020-02-26
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