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时标动力系统的有界性研究

2020-11-25 377 上传者：管理员

摘要：借助时标上的比较定理，利用锥值Lyapunov函数方法，建立了时标动力系统有界性问题的新的判定定理并给出实例验证.

关键词：
微分系统稳定性
时标动力系统
有界性
比较定理
锥值Lyapunov函数
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在文献[1]中向量Lyapunov函数的出现起到了一个非常重要的作用，即通过向量Lyapunov函数建立了一般非线性高维动力系统平凡解稳定的比较定理，推广了纯量Lyapunov函数所得的结果.其中利用锥值Lyapunov函数方法判断微分系统稳定性的讨论，目前已有一些成果[2,3,4].而微分动力系统解的有界性问题起源于系统解的稳定性问题的研究[5,6,7]，时标上利用锥值Lyapunov函数其对有界性的讨论并不多见[8,9].本文利用锥值Lyapunov函数方法讨论了时标动力系统解的有界性问题，并给出例子验证结论的有效性.

1、预备知识

有关时标动力系统的基本符号的定义可参考文献[10].

定义1Rn上的正则子集K称为一个锥，若满足

这里和K0表示K的闭集和内部，表示K的边界.

定义4若函数a∈C[R+,R+]是严格单调递增函数，且有a(0)=0，则a为κ类函数，记为a∈κ.

引理1若V(t）∈Crd[T×Rn,R+],V(t,x）对每一个右稠点t∈T关于x满足局部Lipschitz条件，且

这里g∈Crd[T×R+,R+],g(t,u）μ*（t)+u对任意t∈T关于u单调非减.方程

的最大解r(t)=r(t,t0,u0）在T上存在，则V(t0,x0）≤u0蕴含V(t,x(t））≤r(t,t0,u0),t∈T,t≥t0.

2、主要结论

有如下时标动力系统：

其中f∈Crd[T×Rn,Rn]，在这里仍需保证系统（1）的解x(t)=x(t,t0,x0）的唯一性，只是不再需要假定f(t,0）≡0.下面给出一些相关记号和基本定义：

定义5[8]称系统（1）的每个解x(t)=x(t,t0,x0）有界，若有常数β（t0,x0)>0，使得

这里x(t)=x(t,t0,x0）是系统（1）的任意一解；若任意的α>0，存在β（α）>0，对任意x0∈Sα，有

则系统（1）的解一致有界.

下面考虑比较系统，并给出新的有界性定义和定理

这里g∈Crd[T×K,Rn],g(t,u）μ*（t)+u在锥K上关于u是拟单调递增的.

定义6称系统（2）的每个解u(t)=u(t,t0,x0）是-有界的，若

这里以及后面的r(t)=r(t,t0,r0）是系统（2）的最大解.

系统（2）解的一致-有界性可类似定义.

定理1假设条件如下：

(A1)V∈Crd[T+,K],V(t,x）满足局部Lipschitz条件，且在锥K上满足不等式：

(A2)g∈Crd[T×K,Rn]，且g(t,u）μ*（t)+u在锥K上关于u是拟单调增的；

(A3)，a,b∈κ，则系统（2）解的-有界性蕴含系统（1）解的有界性.

证明：因为系统（2）的解是-有界的，所以对于系统（2）的任意解都满足

则通过引理1得到

由上式可知||x(t,t0,x0）||≤β（t0,x0），即系统（1）的解有界.

若上述证明过程中β（t0,x0）的选取不依赖于t0就得到一致有界的结论，在此不重复论证.

3、举例与验证

为了验证定理的有效性，举例如下.

例1考虑如下时标动力系统

选定V(t,x)=(V1,V2)T，这里V1=x12,V2=x22，很容易验证

于是，选定比较系统

令，注意到系统（4）中g关于u不是拟单调递增的.因此，不能通过向量Lyapunov函数V(t,x)=(V1,V2)T从系统（4）得到系统（3）解的有界性性质.于是，试着构造一个锥，使系统（4）在锥上是拟单调增的.

在系统（4）中，A的特征值为λ1=-1，λ2=-2，其相应的特征向量取值分别为（1,0)T和（1,-1)T，选定，这里B是非负的、非奇异的2×2阶矩阵，它通过映射u=Bv把系统（4）转化为v△=B-1ABv，于是，选定，它是由2×2矩阵B的线性无关的2个列向量产生的，它的第j列向量是bi，选定为矩阵B-1的第i行，通过矩阵的运算得到：

通过（5）得到，其中i=1,2.当i≠j，选定于是由（5）和（6）得

所以，系统（3）在锥K上拟单调递增.

系统（4）的解满足：

因此系统（4）的解是-有界的.

选定系统（4）的一个锥值Lyapunov函数V(t,x)=u(t,0，σω（x(0,t,x）））这里σω（x(0,t,x）是文献[2]中定理4.1所定义的一个函数.在锥K上系统（4）具有下面的性质：

(A1)V∈Crd[T+,K],V(t,x）满足局部Lipschitz条件，且D+V(t,x）≤kg(t,V(t,x));

(A2)g∈Crd[T×K,Rn]，且g(t,u）μ*（t)+u在锥K上关于u是拟单调递增的；

(A3)，a,b∈κ，则V满足定理1的条件，于是，由定理1知系统（3）的解是有界的.

展正然,窦林立.时标动力系统的有界性[J].保定学院学报,2020,33(06):103-106.

基金:中国地质大学长城学院校级项目“时标动力系统有界性问题研究”(ZDCYK1809).