一、引言

将逻辑后承概念引入严格形式研究的领域,不是这个或那个研究者随意决定的事情;定义这个概念时,要努力坚持日常生活语言的通常用法。但是,这些努力一直面临此种情况下常常出现的困难。就内容的清晰性而言,通常的后承概念决不会比日常语言的其他概念优先。它的外延没有明确界定,它的用法也是多变的。任何企图协调与这个概念的使用相关的所有可能模棱两可、有时矛盾的倾向的尝试,都注定要失败。从一开始我们就必须接受如下事实,即这个概念的每一个精确定义或多或少都会显示随意性的特征。

二、句法方法

甚至直到最近,许多逻辑学家还相信,借助相对少量的概念,他们已经成功地几乎精确地把握了后承这个普通概念的内容,或者甚至成功地定义了与普通后承概念重合的新概念。这样的信念本来很容易在演绎科学方法论的新成就中产生。由于数理逻辑的发展,最近几十年里,我们已经学会如何以形式化的演绎理论的方式呈现数理学科。众所周知,在这些理论中,每条定理的证明都归约为某些简单推理规则——比如替换规则和分离规则——的单次或重复应用。这些规则告诉我们,怎样的纯结构变换(即其中只涉及句子外部结构的变换)是基于公理或该理论已证明的定理而进行操作的,因而作为这些变换的结果的句子自身可以看作是得到证明的。逻辑学家们认为,这些少量的推理规则穷尽了后承概念的内容。所以逻辑学家们认为,如果一个句子从其他句子得出,它就能以多少有些复杂的方式,借助规则所允许的变换从其他句子得出。为了对这种观点进行辩护,反对怀疑者质疑这样形式化的后承概念确实与通常的后承概念一致,逻辑学家可以提出有分量的论证:他们实际上已经成功地以形式化证明的方式,再现数学中曾经一直运用的所有精确的推理。

然而,今天我们知道,这种怀疑论非常有道理,上面概述的观点也无法成立。多年以前,我给过一个很基本的理论的例子,它表现出如下特点——在这个理论的定理中出现如下句子:

A0.0具有给定的性质P

A1.1具有给定的性质P

而且更一般地是,还出现所有形如

An.n具有给定的性质P

的特称句子,其中“n”代表某个给定的(如十进制)数字系统中指称自然数的任何符号。另一方面,全称句子

A.每一个自然数都具有给定的性质P

不能基于所考虑的理论运用通常的推理规则得到证明。1在我看来,这个事实清楚地说明了问题。它说明数理逻辑学家一般使用的形式化的后承概念决不会与通常的后承概念重合。可是,直观上似乎可以肯定,全称句子A在通常意义上可以从特称句子A0,A1,…,An,…的总和得出。只要所有这些特称句子都是真的,句子A也一定是真的。

与刚才描述的情形相关,逻辑学家已经证明,有可能表述新的推理规则,它们在逻辑结构方面与旧规则没有区别,而且直观上同样是不可错的,即总是从真句子得到真句子,但它们不能归约为旧规则。这样的规则的一个例子是所谓的无穷归纳规则,按照这条规则,只要所有句子A0,A1,…,An,…(符号“A0”“A1”等等在与前面相同的意义上使用)已经得到证明,句子A就可以被认为得到了证明。但是由于这条规则的无穷性实质,它在许多基本方面有别于旧规则。在构造理论时,只有首先成功证明该理论的无穷多个句子(这种情况在实践中从未实现过),才能应用这条规则。但是,这个缺陷很容易通过修改新规则来克服。为了做到这一点,考虑这样一个句子B,它断言所有句子A0,A1,…,An,…基于迄今为止使用的规则是可证的(而不是它们实际上已经被证明)。然后建立如下规则:如果句子B被证明,那么也可以接受相应的句子A得到证明。但这里仍然可以提出反对意见:句子B根本不是所构造的理论的句子,而是属于所谓的元理论(即关于所讨论的理论的理论),因此所考虑的规则的实际应用,总需要一种从该理论到元理论的转换。为了避免这种反对意见,我们将限于考虑可以发展自然数算术的演绎理论,而且我们会观察到,在每一个这样的理论中,相应的元理论的所有概念和句子都可以得到解释(因为可以在语言表达式与自然数之间建立一一对应)。2在所讨论的规则中,可以使用句子B(替换句子B,这里B/是B的算术解释。这样便得到一条规则,(尽管它可以复杂得多)无论是它的可应用性的条件,或者它的表述所牵涉的概念的实质,或者它直观上的不可错性质,基本上都没有偏离推理规则。

现在可以陈述其他类似性质的规则,这些规则我们想陈述多少就会有多少。实际上,只需要注意,刚才最后表述的那条规则本质上依赖于“根据迄今为止使用的规则可证的句子”这个概念的外延。但我们采用这条规则时,由此拓宽了这个概念的外延。所以,对于拓宽的外延来说,我们可以建立一条新的、类似的规则,如此下去以至无穷。有没有某些客观的理由赋予这些通常使用的规则一种特殊的地位,这将会是一个值得研究的问题。

现在,这个猜想本身暗示,通过上面概述的方法,即通过补充构造演绎理论时所使用的推理规则,我们最终可以成功把握后承这个概念的全部直观内容。利用哥德尔的结论3,我们可以表明这个猜想是站不住脚的。在每个演绎理论(除去某些特别基础的理论)中,不管我们为通常的推理规则补充多少新的纯结构规则,仍然可以构造一些句子,在通常意义上,这些句子从该理论的定理得出,但绝不能在这个理论中根据所接受的推理规则得到证明。4为了得到在基本方面接近普通后承概念的真正的后承概念,我们必须借助完全不同的方法,并且应用完全不同的概念装置来定义它。与新的后承概念相比,数理逻辑学家共同使用的旧后承概念决不会失去重要性,预先指出这一点大概不是没有必要的。对于演绎理论的实际构造来说,这个概念作为允许我们证明或否证理论中的特殊句子的工具,大概总有一种决定性的重要意义。然而,在一般性的理论考虑中,真正的后承概念必须被放在焦点位置。5

三、语义方法

第一个尝试为真正的后承概念表述一种精确定义的人是卡尔纳普。6但这种尝试与选定为研究主题的形式化语言的特殊性质密切相关。卡尔纳普提出的定义可以表述如下:

句子X从类K的句子逻辑地得出当且仅当由K中所有句子和X的否定组成的类是矛盾的。

上述定义中决定性的因素显然是“矛盾的”这个概念。卡尔纳普关于这个概念的定义太复杂、太特殊,没有长篇大论和繁琐的解释是无法在这里重现的。7

这里我想概述一种一般性的方法,在我看来,这种方法使我们能为一类广泛的形式化语言构造后承概念的恰当定义。不过我要强调的是,所提出的对后承这个概念的处理,绝没有说它是完全原创的。这种处理方式所涉及的想法,对于许多密切注意后承概念并且试图更精确地刻画它的逻辑学家来说,的确似乎是某种已知的东西,或者甚至是他自己的某种东西。然而,在我看来,只有近年来为建立科学语义学而发展的方法,以及借助这些方法所定义的概念,才允许我们以精确的形式把这些想法呈现出来。8

某些直观考虑构成我们的出发点。考虑任意句子类K以及从这个类的句子得出的句子X。从直观上看,决不会发生句子类K仅由真句子组成而句子X假的情况。再者,由于这里我们关心逻辑后承(即形式后承)这个概念,由此关心在句子之间成立的、由句子形式唯一决定的关系,所以这种关系不能以任何方式受经验知识的影响,尤其不能受关于句子X或K这个类的句子所指的对象的知识影响。后承关系不能因为把这些句子中所指对象的名称替换为任何其他对象的名称而受到影响。刚才指出的两种情况对于真正的后承概念来说似乎是非常典型的和基本的,这两种情况可以共同表达在下列陈述中:

(F)如果在K这个类的句子和句子X中,除开纯逻辑常项,其中的常项被任何其它常项代替(相同符号到处用相同符号代替),而且如果我们用“K/”指从K这样得到的句子类、用“X/”指称从X得到的句子,那么只要K/中所有句子都是真的,句子X/也必定是真的。

[为了简化讨论,此后一些附带的复杂问题都会被忽略。这些问题部分地与逻辑类型的理论有关,部分地与消去所关注的句子中可能出现的任何被定义符号的必要性有关,即与用初始符号代替被定义符号的必要性有关。]

在(F)这个陈述中,我们已获得句子X是句子类K的后承的一个必要条件。现在产生的问题是,这个条件是否也是充分的。要是这个问题得到肯定回答,表述一种关于后承概念的恰当定义这个问题就会得到肯定的解决。唯一的困难就会与条件(F)中出现的“真的”这个词有关。但是这个词在语义学中可以得到精确而恰当的定义。9

很不幸,情况并非如此乐观。可能发生而且确实发生的一种情况是,考虑特殊的形式化语言,不难表明,虽然满足条件(F),句子X也不能在通常意义上从K这个类的句子得出。这个条件可能只因我们处理的语言不具备足够多的非逻辑常项而得到满足。如果条件(F)可以看作句子X从K这个类得出的充分条件,那么所有可能对象的名称就会都出现在所讨论的语言中。然而这个假设是虚构的,永远无法实现。10因此,我们必须寻找一些表达条件(F)的意图的手段,这些手段将完全独立于那个虚构的假设。

这样的手段由语义学提供。在语义学的基本概念中,我们有单个对象或对象序列满足句子函数的概念。在这里对这个概念的内容的一种精确解释将会是多余的。约翰和彼得满足“X和Y是兄弟”这个条件,或者数字2、3和5的三元序组满足等式“x+y=z”,这些表达的直观意思就能说清楚问题。与其他语义概念一样,满足这个概念必须总是相对于某个特殊语言。它的精确定义的细节依赖于该语言的结构。然而,可以建立一种一般性的方法,使我们能够对一大类形式化语言构造这样的定义。很不幸,由于技术原因,这里不可能概述这种方法,甚至也不能概述这种方法的一般性概要。

可以通过满足概念来定义的概念之一,就是模型这个概念。让我们假定所考虑的语言中特定的变元对应于每一个非逻辑常项,以这种方式,如果使用相应的变元代替其中的常项,每个句子就变成句子函数。令L是任何句子类。使用相应的变元替换属于L的句子中出现的所有非逻辑常项,相同的常项替换为相同的变元,不同的常项替换为不同的变元。通过这种方式,我们得到一个句子函数类L/。任何满足类L/这个类中每个句子函数的对象序列,都将称为句子类L的一个模型或实现(正是在这种意义上,人们通常谈论一个演绎理论的一个公理系统的模型)。特别地,如果类L由单个句子X组成,那么我们也把L这个类的模型称为句子X的模型。

我们可以通过上面这些概念如下定义逻辑后承这个概念:

句子X从类K的句子逻辑地得出当且仅当K这个类的每个模型也是句子X的模型。11

在我看来,理解上述定义的内容的每个人,都必定会承认它与日常用法相当一致。从它的各种推论可以更清楚地看到这一点。特别地,根据这个定义可以证明,真句子的每个后承一定是真的,而且还可以证明,在给定的句子之间成立的后承关系完全独立于这些句子中出现的非逻辑常项的涵义。简言之,可以表明,如果句子X可以从K这个类的句子得出,那么上述条件(F)就是必要条件。另一方面,这个条件一般来说不是充分条件,因为这里定义的(与我们所采取的立场一致的)后承概念,独立于所研究语言的概念的丰富性。

最后,不难调和我们提出的定义和卡尔纳普的定义。因为我们可以赞同,如果一个句子类没有模型,那么称这个句子类是矛盾的。类似地,如果每个对象序列都是一个句子类的模型,那么可以称这个句子类是分析的。这两个概念不仅可以与句子类联系起来,也可以与单个句子联系起来。让我们进一步假定,在我们所处理的语言中,对每个句子X,都存在这个句子的否定,即存在一个句子Y,它有且仅有不是句子X的模型的对象序列作为模型(这个假定在卡尔纳普的构造中是十分基本的)。根据所有这些约定和假定,容易证明这两个定义的等价性。也可以像卡尔纳普那样表明,有且仅有从所有句子类(尤其是空类)都可以得出的句子是分析的,有且仅有可以得出所有句子的句子是矛盾的。12

四、逻辑词项

我完全不主张这样的观点,即后承概念的实质恰当的定义这个问题在上述讨论的结论中完全得到解决。相反,我仍然看到几个没有解决的问题,这里我仅指出其中一个问题,或许这是最重要的问题。

我们整个构造背后隐藏着一种划分,把所讨论的语言的全部词项分为逻辑的和非逻辑的。这种划分肯定不是随意而为。比如,要是我们把蕴涵记号或者全称量词纳入非逻辑符号,那么我们关于逻辑后承的定义便会导致与通常用法相矛盾的结论。另一方面,我还不知道有什么客观的根据,允许我们在两组词之间划一条明确的界限。似乎有可能把一些通常被逻辑学家看作非逻辑词的词项纳入逻辑词,但是不导致与日常用法明确对立的结论。极端情况是,我们本可以把语言的全部词项看作逻辑词。那么形式后承这个概念就会与实质后承这个概念重合。在这种情况下,要是句子X是真的或K这个类中至少有一个句子是假的,那么句子X就会从句子类K得出。13

为了看到这个问题对某些一般性的哲学观点的重要性,只要注意这样一点便足够了,即把词项划分为逻辑词和非逻辑词,在澄清“分析的”这个概念时,也会起一种基本的作用。但是按照许多逻辑学家的意见,这最后一个概念被看作是与重言式(即“对现实毫无所说”的陈述)这个概念精确的形式上相互联系的东西,对我个人而言,“分析的”这个概念是很含糊的,但它在维特根斯坦和整个维也纳学派的哲学讨论中一直是极其重要的。14

毫无疑问,进一步的研究将大大澄清我们感兴趣的问题。也许将来有可能找到重要的客观论证,使我们能够证明逻辑表达式和非逻辑表达式之间的传统界线是合理的。但是我也认为,在这个方向上的研究完全有可能不会产生正面结果,以致于我们将不得不把“逻辑后承”“分析陈述”和“重言式”这样的概念视为相对性的概念,在任何场合,这些概念都必须与一种把词项分为逻辑词和非逻辑词的明确划分联系起来,尽管这种划分多少有些随意。后承概念的普通用法中的波动便会很自然地反映在这种强制情境中。

注释：

1.对具有这种特点的理论的详细描述,参见论文《关于ω-一致性和ω-完全性的一些观察》(《文集》中IX);对密切相关的无穷归纳规则的讨论,参见论文《形式化语言中真这个概念》(《文集》中VIII)第258页以下｡

2.对于元理论概念以及元理论在其相应的理论中的解释问题,参见论文《形式化语言中真这个概念》(《文集》中VIII)第167页以下,第184页以及第247页以下｡

4.为了预料可能出现的反对意见,应该更准确地界定刚才表述的结论的应用范围,更清楚地展示推理规则的逻辑性质,尤其是必须准确说明这些规则的结构特征指的是什么｡

7.参见前一个脚注｡

8.语义学的方法和概念,尤其是真和满足的概念,在论文《形式化语言中的真这个概念》(《文集》中VIII)中有详细讨论;也可参考论文《科学语义学的建立》(《文集》中XV)｡

9.参见前一个脚注｡

10.这些说明构成对以前尝试定义形式后承这个概念的一些尝试的批评｡这些尝试特别关注卡尔纳普关于逻辑后承以及系列导出概念(L-后承和L-概念)的定义｡在我看来,这些定义建立于“一般句法”的基础上,就此而言它们实质上是不恰当的,这仅仅因为所定义的概念在外延方面本质上依赖于所研究语言的丰富性｡

11.本文第一次印出来后,肖尔兹在其论文中指出,这个关于后承的定义与大约100年前鲍尔察诺提出的定义之间有一种深刻的类似｡——作者

12.顺便我想说明,这里提出的后承概念的定义,没有超出卡尔纳普构想的句法的界限必须承认,一般性的满足(或模型)的概念不属于句法;但我只用这个概念的一种特殊情况——即不含非逻辑常项的句子函数的满足这个概念,只用一般性的逻辑概念和具体的句法概念,就能刻画这种特殊情况｡在一般的满足概念与这里使用的这个概念的特殊情况之间,真句子的语义概念与分析性句子的句法概念之间,大约都有某种相同的关系成立｡

13.对于K这个类,即给定的句子X由之得出的类,只含有有穷多个句子Y1,Y2,…,Yn的特殊情况,把“可推导性”､“形式后承”和“实质后承”这三个概念并列起来,也许是有启发性的｡让我们用符号“Z”指前件为句子Y1,Y2,…,Yn的合取､后件为X的条件句(即蕴涵式)｡下列等价命题由此得以建立:句子X从类K的句子(逻辑)可推导当且仅当句子Z是逻辑可证的(即从逻辑公理可推导的);句子X从类K的句子形式得出当且仅当句子Z是分析性句子;句子X从类K的句子实质得出当且仅当句子Z是真的｡在这三个等价命题中,只有第一个会引起一些反对意见;参见论文《系统演算的基础》(《文集》中XII,第342—64页､特别是第346页)｡14､42.由于后承概念的几个变种之间表现出来的相似性,自然出现的问题是,除了这些特殊概念,引入具有相对性特征的一般性概念,实际上就是概念相对于句子类L的推论这个概念,这是否会是有用的｡如果我们再次使用之前的记法(我们限于K这个类是有穷的情况),我们可以如下定义这个概念:句子X相对于句子类L可从类K中句子得出当且仅当句子Z属于类L｡根据这个定义,可推导性就会与相对于所有逻辑可证句子的类的后承重合,形式后承就会是相对于所有分析性句子的类的后承,而实质后承就会是相对于所有真句子的类的后承｡

A.塔尔斯基,刘新文.论逻辑后承概念[J].世界哲学,2020(01):144-150.