一、高职数学建模的内涵

1.数学模型与数学建模。

数学模型是对一个实际问题,按照其内在规律做出一些必要的、合理的简化假设后,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。这里所说的数学结构可以是一个等式或不等式,也可以是一个图表、图像、框图、算法等。数学建模是一个“迭代”的过程。每次“迭代”包括模型准备、简化假设、确立变量与参数、形成数学结构、求出模型的解,对结果进行解释分析与验证,如其符合实际,可应用于实际问题,如其与实际不符,需更改假设,进入下一个迭代,即:准备→假设→建模→求解→分析→检验→应用。

2.高职数学建模核心素养与培养目标。

学科核心素养是学科育人价值的集中体现,是学生通过学科学习与运用而逐步形成的正确价值观念、良好品格和关键能力。

高职数学建模核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。主要包括数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理、数据分析和模型建立,既相对独立,又相互交融,是一个有机的整体。

(1)数学运算。

是指在明确运算对象的基础上,依据数学运算法则与公式对具体对象进行变形的演绎过程。主要包括:识别运算对象,理解和掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等。学生通过数学建模的学习,掌握数学建模常用的运算法则和运算方法,提高数学运算的能力;提升借助数学运算分析问题和解决问题的能力,养成一丝不苟、勤于反思的品格。

(2)直观想象。

是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是构建抽象模型进行数学推理和运算、探索形成解题思路和方法的思维基础。学生通过数学建模的学习,能够获取借助直观想象感知与分析事物特征和关系的经验,形成运用知识和生活经验分析问题与解决问题的能力和思维品质。

(3)数学抽象。

是指舍去事物的一切本质属性,提取出数学研究对象的思维过程。即在具体情境中抽象出事物的本质特征和规律,用数学语言来描述,形成数学模型。学生通过数学建模的学习,能在具体情境中抽象出基本的数学概念和命题,积累从具体到抽象的基本活动经验;发展运用数学抽象思考问题和解决问题的基本能力,养成在日常学习和工作中抽象思维的意识和习惯。

(4)逻辑推理。

是指从一些事实和命题出发,依据推理规则获得其他命题的过程。是构建数学模型的重要手段,是模型准确性的基本保证。学生通过数学建模的学习,基本掌握数学建模逻辑推理的一般方法,能通过逻辑推理把握事物之间的基本联系,基本形成条理清楚的思维能力和表达能力,养成敢于质疑、善于思考、严谨求实的品格。

(5)数据分析。

是指针对研究对象获取数据,运用统计等方法对数据进行整理、分析和推断,形成研究对象的知识和规律的过程。主要是通过收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、数据计算、分析推断等获得结论。学生通过数学建模的学习,能够初步掌握数据分析的基本方法和策略,形成借助数据分析发现规律和解决问题的能力,具备求真务实、敢于质疑的品格。

(6)模型建立。

是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型的过程,是从实际情境中的问题出发,抽象出相关的数学模型。学生通过数学建模的学习,能够有意识地运用数学语言表达现实世界,建立实际问题的数学模型;能够积累一定的数学实践经验,增强创新意识,初步具备勇于探索、批判质疑、实事求是的品格。

3.高职学生学习要学习数学建模?

(1)学习数学建模是数学教学改革的需要。

1980年4月,美国数学教师协会(NCTM)发布了一份纲领性文件《关于行动的议程》,文件指出“80年代的数学教育大纲,应当在各年级都介绍数学的应用,把学生引进到问题解决中去”,“数学课程应当围绕问题解决来组织,数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”,自从“问题解决”提出以来,数学界纷纷响应,1984年,第五届国际数学教育大会(ICME-5)将“问题解决”列为大会最主要的议题之一。提高学生的“问题解决”能力成为大多数国家数学教育改革的热点。数学建模是“问题解决”的主要形式,通过数学建模培养学生“问题解决”能力,提升学生的创新意识与实践能力,顺应了当前数学教学改革的需要。

(2)学习数学建模是培养高素质技能型人才的需要。

传统的数学内容基本上是从定义、公理出发,逻辑推理出定理、公式,学习一些数学方法,应用于较少的实际案例。凡学过数学建模的学生大都认为数学建模不是一门传统的数学课程,它恢复了数学研究的本来面目,即从问题出发,收集数据、建立模型、模型求解、解释验证。因此,数学建模对学生“问题解决”能力的培养是前所未有的,常让学生感到耳目一新。高职教育培养既要能动脑,也要能动手的高素质技能型人才。若培养的学生能应用所学的数学知识和方法不断改进工作方法、革新工艺流程、提高工作效率、提升产品质量,那么他们将迅速成为行业企业和区域经济快速发展中坚力量。

(3)学习数学建模是促进学生全面发展的需要

①有助于学生学习方式的改变。

要将高职教育单一、被动、忽略人的主动性、能动性和独立性的“接受式学习”,改变为主动性、能动性、多样化的学习方式,其中自主探索、合作交流和实践操作就是值得提倡的学习方式,数学建模活动正是这种学习方式的体现。

②有助于提高学生的学习兴趣。

学生的学习兴趣与教学内容、教学方法、教学实践的选择和使用密切相关。数学建模研究对象的具体性、实践性让学生产生新鲜感,学生经过努力探索后,解决了实际问题,体验到数学的应用价值,学习的兴趣就更加浓厚。

③有助于培养学生的应用意识和创新意识。

大多数数学建模问题来自“城市规划、交通运输、工程技术”等学生未充分接触的领域,在建模过程中,学生必须学习新知识、新方法、新技术,能创造性地思考问题,建立实际问题与数学的联系,这个过程培养了学生数学的应用意识,激发了他们的创新意识。

④有助于培养学生良好的个人品质。

兴趣、求知欲、合作、分享、动机、意志力和自信心等是人生学习、工作和生活中重要的品质。在数学建模活动过程中,面对实际问题,学生首先需要产生浓厚的兴趣,然后需要敏锐的观察、仔细的分析、周密的建模和精确的计算,数学建模培养了学生一丝不苟的科学精神和严谨细致的做事态度。在小组的合作过程中,培养了学生组织能力和团队精神,促进与他人共同学习、合作交流、经验分享,养成良好的个人品质。

二、高职数学建模培训的思路与方法

数学建模培训涉及“谁来教”、“教什么”、“怎么教”的三个本质问题,它既是高职院校深化数学教育教学改革需要思考的核心问题,也是涉及高职数学建模内涵发展的主线问题。“谁来教”就是如何建立教师团队,满足数学建模培训的师资要求,它是培训的关键;“教什么”为培训内容,即符合高职学生的数学建模教材,它是培训的载体;“怎么教”为教法,就是探求一套适合高职学生数学建模的教学方法,它是培训的路径。

1.教师是搞好数学建模培训的关键

(1)成立数学建模方法与实践教学团队。2010年,我校依托数学教研室成立数学建模方法与实践教学数学团队。以教学改革增强教学团队活力,团队形成“从事数学建模方法研究”方向,2015年立项为校级优秀教学团队,2017年通过验收。

(2)探索团队的运行机制

①分工机制。研究方向分为数据分析、数学实验、优化模型、综合评价模型、概率统计模型、连续模型、离散模型。成员依照分工,从事1-2个方面的建模方法探究,收集该方面建模案例,撰写培训讲义,编写教材;成员从当年指导的获奖学生中挑选一个队,与学生一道从事赛后研究,编撰论文集,并将优秀论文推荐到期刊上发表。

②研讨、培训机制。团队每月至少召开一次建模方法演讨会,由一位老师作主题发言,成员参与讨论、相互学习、相互促进。每年派2-3位教师参加7月份全国大学生数学建模指导教师培训班学习,派2-3位教师参加7月份广东省大学生数学建模指导教师培训班学习,所有成员都参加12月份由中国工业与应用数学学会举办的全国大学生数学建模试题讲评会。

③激励机制。根据学校教科研奖励办法,制订教学团队奖励实施细则。根据细则,将团队优秀教师推荐为全国大学生数学建模优秀指导教师,已有10人次荣获此项荣誉;根据指导学生获奖的等级,量化年度绩效考核加分,获得绩效工资奖励,绩效考核分数最高者,获得年度考核优秀。这样极大地调动了团队教师的积极性,有利于团队的长远发展。

2.教材是搞好数学建模培训的载体

(1)选择数学建模培训内容的五原则。将数学建模培训内容设计为案例形式,用适当的教学法将案例与解决案例需要的理论知识结合起来,组成适合高职学生的培训教材。培训内容应遵循以下原则:

①应用性原则。培训内容不是学会定理的推导、公式的证明,而是灵活应用这些数学知识去解决实际问题。

②开放性原则。培训内容以案例形式出现,在分析案例视角、建模方法的运用及结果的表述等方面,有相当大的灵活性,学习者、指导者可以从不同的角度思考问题、建立模型。

③综合性原则。培训内容围绕某个主题展开,需要用到跨专业、跨学科的知识内容体系,有利于学习者知识体系的融会贯通,有利于学习者多层面、多维度、多角度建立模型。

④专业性原则。培训内容围绕专业需求展开,加强与专业问题的联系,构建紧密联系专业的培训案例,达到服务专业的目的。

⑤实践性原则。培训内容在给学习者提供间接经验的同时,更要为学习者提供直接经验,让学习者在实践中获得实践方法、情感体验、能力提升。

(2)构建“三模块、四阶段”的数学建模培训内容体系。以数学建模方法和计算机软件为主线,按照内容选择的五原则,做到直观想象与数学抽象、建模方法与案例分析、简单模型与复杂模型的合理搭配,配备近200个建模案例,构成“三模块、四阶段”的培训内容体系:

数学建模方法。介绍常用数学建模基本方法,包括初等模型、规划模型、图论模型、微分方程(差分方程)模型、评价模型等,模型不太复杂,主要是让学生掌握建模常用方法。

数学建模算法。介绍计算机软件和编程方法,包括Lingo、Matlab、和SPSS等数学软件,学生利用软件掌握求导、积分、解方程、均值、方差和计算矩阵的特征值和特征向量等,并初步掌握数据拟合、插值、仿真处理及大数据处理等方法,同时掌握基本图形的绘制方法和技巧。

典型的建模案例分析。通过对典型、综合的案例分析,介绍模型建立的详细过程,讲解案例时,适当穿插介绍案例需要的数学基础知识、建模方法和计算机软件。

启蒙阶段。在高职数学平台课中插入15个数学建模案例,这些案例将数学知识、思维方法与数学建模的思想、方法相互渗透,有机融合,让学生初步掌握数学建模的七个步骤。

基础阶段。讲授为主,内容为数学建模方法和算法。选择简单并贴近实际生活案例,比如:银行贷款、欧拉七桥、三村短路、十字路口交通灯的时间设置、椅子能否放平稳?出租车计价等30余个案例。

强化阶段。师生共同研究为主,内容为综合性案例,比如:黄河泥沙控制、效益的合理分配、人口预测、横渡江河或海峡方案、循环比赛的名次等40余个案例;有时还引入历年的竞赛真题,如:输油管的布置优化、卒中发病环境因素分析及干预等;若条件允许,结合专业特征选择相关的案例,如:铁道运营专业选用列车资源配置案例。此外,还讲授数学建模论文的基本格式、写作方法,为大学生数学建模竞赛做准备。

实践阶段。学生自己探讨为主,学生三人一组,进行建模实践练习。命题二个,由小组自主选题,各组学生按照竞赛方式,独立完成论文,交指导老师评阅,然后反复修改,优秀论文在班上进行交流。或者带学生走出校外,让学生在社会上发现问题,设计案例,探索和发现问题的数学规律。

三个模块各自独立、相互支撑,四个阶段前后呼应、相互衔接,构建适合高职学生新的数学建模课程体系。

3.教法是搞好数学建模培训的路径。

数学建模过程就是解决实际问题的过程,教学应以问题为中心,引导学生思考、分析问题,运用不同的教学方法,培养学生的实践能力,激发学生的创新意识。

(1)开展案例教学,培养学生问题分析能力

①运用案例选择法,教师开展案例教学研究,按照课程的教学目标、案例的可行性、实用性,精选适合学生的案例。

②运用案例讲授法,教师阐述案例的教学目标,讲解案例需要的较难的理论和特殊方法,帮助学生理顺问题分析的思路。

③运用案例讨论法,学生充分表述自己对案例的见解和观点,教师适当点拨,不做过多干预。

④运用案例辩论法,引导假设不同、方法不同的学生分组辩论,各方先阐述自己的观点,再指出他方的不足,形成激烈的思想碰撞。

⑤运用案例评价法,用多元评价理论从可行性、实用性及教学效果等多方面对案例进行评价,完善案例教学过程。

(2)开展实验教学,培养学生实践操作能力

①基础阶段培训时期,以验证性实验和设计性实验为主。验证性实验是对原理、方法、公式等方面实施计算机验证,不涉及数学建模问题;设计性实验是解决简单建模问题,对教材案例(例题)进行模仿的实验。目的是培养学生设计数学实验、熟悉数学软件操作的能力。

②强化阶段培训时期,以综合性实验为主。综合性实验是对大量数据进行分析、整理,利用Matlab等软件设计算法和编程,解决实际问题的实验。目的是培养学生计算机编程、数学软件使用的能力。

3.开展“三结合”培训模式,培养学生数学建模能力

①数学建模培训与数学平台课程教学相结合。

数学建模如果只停留在单独设课、举行竞赛的层面上,即使取得不错的成绩,但参加者毕竟还是少部分学生,如何使广大学生受益,教学团队开展“将数学建模的思想和方法融入数学平台课程的研究和试验”。编写高职数学教材,将数学概念与数学建模思想有机融合,如通过函数变化率模型引导出导数的定义;将传统数学的思维方法与数学建模方法相互渗透,比如传统的数学应用题,按照数学建模步骤去解答。

②对大多数学生进行的课上建模教学和对参赛选手进行的课下建模训练相结合。

每年春季学期为学生开设《数学建模》、《数学实验》、《运筹学》三门选修课,选课学生达600余人。同时对参赛选手采用系列专题讲座法,结合教学团队教师的专业和研究方向,开展相应专题数学建模讲座8-10场,如:涯高的计算,科研成果的评价,最短邮路等。

③线上学生自学与线下教师讲授相结合。

《数学建模》建成校级网络课程,32个学时的完整教学视频,每年大约有400余人的学生在线学习,学习建模的基本知识和基本方法。教师线下讲解模型的背景,指导学生做实验,分析模型的思路,指导学生选择软件或编程,鼓励学生寻找解决问题的方法,探讨规律性的结果,培养学生“学数学”、“用数学”的能力。

三、高职数学建模竞赛选拔机制

1.成立大学生数学建模协会。

成立校级大学生数学建模协会,下设秘书工作部、竞赛工作部、信息工作部、联络工作部,制订学校大学生数学建模协会章程,学校提供适当经费资助。以协会为载体,每年邀请校外专家举办数学建模讲座2次,校内老师3-4次,让学生熟悉比赛流程,掌握论文写作要求,为参加全国大学生数学建模竞赛做准备。此外还开展趣味小项目、经验交流、模拟练习、校级竞赛等活动,特别鼓励学生走出校门,参观行业企业,在更大的范围内推广数学建模思想和理念。协会深受学生欢迎,成为学校最大的社团,因参赛成绩突出,多次评为学校“优秀社团”。

2.数学建模队员选拔模式。

选拔参加数学建模比赛队员,采用过程性评价与总结性评价相结合,综合考虑学生各方面情况。即:通过平时成绩、上机实验、课堂发言、校级竞赛四项表现综合评定,不能一张卷子定高低。

(1)平时成绩。

根据大一学生专业综合排名成绩,排名前70%的学生有资格报名,主要是考察学生的学习能力和学习态度;从报名的学生中,依照数学和计算机应用基础两门课程的成绩高低确定培训名单,这两门是数学建模的重要基础课程。占选拔成绩20%;

(2)上机实验。

上机实验操作,是考察学生设计算法、程序开发与图形绘制等实践能力的重要途径。在整个培训周期中,考核学生上机实验3-5次。占选拔成绩的20%;

(3)课堂发言。

课堂自由讨论、畅所欲言,重点考察学生对模型的理解能力、分析能力、纠错能力。此项考核贯穿整个教学过程,占选拔成绩的10%;

(4)校级竞赛。

仿照全国大学生数学建模竞赛的规则,三人一组,各组于规定的时间内递交一篇完整论文,并通过教师组成的专家组答辩后评定成绩。此项占选拔成绩的50%。

四、结语

笔者带领所在团队,通过10年的探索实践,在理论成果方面,出版了专著《高职数学建模案例教学研究》(天津科学技术出版社);出版了教材《应用数学》(上、下,广东省高等教育出版社,推荐为国家职业教育“十三五”规划教材);出版了教材《数学建模及典型的案例分析》(电子工业大学出版社,国家“十二五”规划教材)。在实践成果方面,2010至2019年,指导学生参加全国大学生数学建模竞赛,获得国家一等奖5项、二等奖11项;获得省一等奖24项、二等奖36项、三等奖48项,获奖数量位居广东省近百所同类院校前列。当然,要想真正实现数学建模培训与竞赛服务于高职创新人才培养这个重要目标,在“加强课堂教学、学生线上自学,完善数学建模培训、竞赛选拔方式,提升学生的数学应用和创新意识”等方面仍需进行不断探索。

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基金:广州市高等学校第七批教育教学改革项目“高职数学案例教学理论及实践研究”(穗教高教〔2015〕29号).