数学真理必须依赖上帝信仰吗？或者说上帝信仰究竟是否影响以及如何影响人们对于数学真理的认识？这个问题最初是由17世纪的哲学家、数学家笛卡尔提出的，而且他的回答似乎非常明确：如果缺乏对上帝的认识，那么人们也就无法真正认识数学真理。

然而，笛卡尔的这一观点一直饱受循环论证之嫌。因为，一方面，笛卡尔诉诸“清楚分明的知觉”能力，借以证明上帝的存在以及上帝不是骗子，而另一方面，上帝存在以及不是骗子这个事实，则使沉思者不再怀疑“清楚分明的知觉”以及数学真理是否可靠。如果这种指责成立，那么就必须承认笛卡尔以上帝真理来为数学真理奠基的做法最终是不成功的。本文将对这一观点提出挑战。在笔者看来，在《第一哲学沉思集》的正文部分，笛卡尔确实在某种程度上陷入了循环，但是他在附录的“反驳”部分找到了逃出循环的方法，而且这一方法在其随后的《哲学原理》中得到了进一步的确证。然而，这并不意味着笛卡尔在数学真理与上帝的关系问题上没有任何问题。事实上，在这一问题上，笛卡尔具有正反两方面的观点：一方面，他认为数学真理必须以上帝为基础；另一方面，他认为无神论者不能完全把握数学真理。就前一方面而言，笔者认为是相对可靠的，至少它可以摆脱批评者对其循环论证的指责。然而，就后一方面而言，本文将指出它是不可靠的，笔者将要论证，即使数学真理确实依赖上帝存在，一个无神论者仍然可以像有神论者一样认识数学真理。

一、“我思”、上帝与数学真理

一般认为，作为近代哲学的奠基者，笛卡尔在哲学上最大的贡献在于其所提出的“我思”论证，即通过普遍怀疑的方法把自我确立为认识的最高原理。正如黑格尔所说：“从笛卡尔起，我们踏进了一种独立的哲学。这种哲学明白：它自己是独立地从理性而来的，自我意识是真理的主要环节。哲学在它自己的土地上与哲理神学分了家，按照它自己的原则，把神学撇到完全另外的一边。在这里，我们可以说到了自己的家园，可以像一个在惊涛骇浪中长期漂泊之后的船夫一样，高呼‘陆地’。”[1]59笛卡尔不像中古哲学那样以世界或上帝作为其哲学的开端，而是首先通过普遍怀疑的方法把外部世界和数学通通加入“括号”之中，其结果是发现唯有自我即“我思”是不可怀疑的。自我也就成为笛卡尔哲学体系中的“阿基米德点”，唯有找到它，人们对于其他知识才能“有权抱远大的希望”[2]22。

不过，笛卡尔在第二个沉思中提出“我思”之后并没有立即建构关于外部世界和数学的知识，而是首先在第三个沉思中探讨上帝存在的证明。这似乎表明由普遍怀疑确立下来的自我并非自足的终极原则。正如舒尔兹所言：“‘我思’所展开的事无巨细的、无所遗漏的怀疑，恰恰表明‘我思’的无力和有限性，表明它无法保证笛卡尔所要求的那种终极的确定性。”[3]24

我们看到，在第三个沉思中，笛卡尔先是从对“我思”真理的反思中提炼出真理的标准：“凡是我们领会得十分清楚、十分分明的东西都是真实的。”[2]35然而，笛卡尔很快发现这条标准仍然有被怀疑的可能，他说：“假如从那以后，我认为可以对这些东西（指基于清楚、分明这条标准得出的数学命题）怀疑的话，那一定不是由于别的理由，而只是因我心里产生这样一种想法，即也许是一个什么上帝，他给了我这样的本性，让我甚至在我觉得是最明显的一些东西上弄错。”[2]35-36这种怀疑其实在第一个沉思的后半部分就已经提出，而且特别是针对数学真理的可靠性提出的：“和我有时断定别的人们甚至在他们以为知道得最准确的事情上弄错一样，也可能是上帝有意让我每次在二加三上，或者在数一个正方形的边上，或者判断什么更容易的东西上弄错。”[2]18因此，在笛卡尔看来，确定数学真理的可靠性就依赖于证明上帝存在以及上帝不是骗子这一点。而一旦认识了上帝，人们“就有办法取得关于无穷无尽的事物的完满知识”，特别是关于“物体性质的知识”，即数学知识，“因为物体性质可以用做几何学家们推证的对象。几何学家们是不管这个对象的存在性的”[2]75。

许多学者指责笛卡尔的上述说法陷入了循环的困境。为揭示这种循环，我们需要更仔细地考察一下笛卡尔关于上帝存在的证明。笛卡尔的证明其实是安瑟伦本体论证明的现代翻版，其主要表述如下：

我在我的心里觉察到他的观念（也就是说，一个至上完满的存在体的观念）并不比不论什么形状或什么数目的观念差。我对于一个现实的、永恒的存在性之是属于它的本性这一事实认识得清楚、分明的程度并不比我认识凡是我可以证明什么形状或什么数目之是真正属于这个形状或这个数目的本性的程度差。从而，即使凡是在前几个沉思里所断言的都不是真的，上帝的存在在我心里至少应该算是和我迄今所认为仅仅有关数目和形况的一切数学真理同样可靠。[2]69

这里，沉思者“清楚分明地知觉”上帝的“本性”与其“存在”之间的关联，知觉到这种关联就为上帝的存在提供了证明。而且，由于上帝具有“至上完满”的属性，因而他不可能是骗子，因为“凡是欺骗都含有某种不完满性，而且即使能够骗人好像标志着什么机智和能力，不过，想要骗人却无疑地证明是一种缺陷或恶意。因此在上帝那里不可能有欺骗”[2]55-56。

这个证明的问题在于它对“清楚分明的知觉”的运用，以及随后与几何学证明的类比。哈特费尔德出色地指出了这里的问题：“一方面，笛卡尔诉诸‘清楚分明的知觉’能力，借以证明上帝的存在以及上帝不是骗子，而另一方面，上帝存在以及不是骗子这个事实，则使沉思者不再怀疑‘清楚分明的知觉’以及数学真理是否可靠。这一过程有循环论证之嫌。确认真理的特定方法（‘清楚分明的知觉’）需要证明上帝存在以及不是骗子；但是，这个证明却依靠这种特定的方法。”[4]178其实与笛卡尔同时代的阿尔诺就在第四反驳中指责了这种循环：

我只剩下一个疑虑了，那就是，对于他所说的话，只有由于上帝存在，我们才肯定我们所清楚明白地领会的东西是真的，他怎么辩护才能免于陷入循环论证。因为，我们之所以肯定上帝存在，只因为我们对这件事领会得非常清楚、非常明白，因此，在我们肯定上帝存在之先，我们必须先肯定凡是我们领会得清楚、分明的东西都是真的。[2]216-217

究竟笛卡尔是否在这里陷入了循环论证呢？这其实还关涉对笛卡尔哲学的更为一般性的评估：究竟是“我思”还是上帝在笛卡尔哲学体系中占据主导地位？对这一问题的回答直接关乎笛卡尔作为近代哲学奠基者的地位是否稳固。直言之，单纯的“我思”是否能够保证笛卡尔作为近代哲学开山的地位？笛卡尔援引上帝的做法是否有退回中世纪经院哲学之嫌？当前学界流行的观点认为笛卡尔本人对待这个问题正如其处理身心关系问题一样是含混不清的，也就是说，他只是意识到问题的存在，但并没有提出解决问题的具体办法。而且，如果循环论证被坐实，那么笛卡尔认为数学真理依赖上帝存在的观点当然就不成立[5]56。

二、上帝与对数学真理的回忆

对于上述循环论证的指摘，笔者并不赞同。笔者认为笛卡尔确实为摆脱循环困境提供了一个可能的办法，虽然我们必须承认，笛卡尔也许并没有坚决贯彻这种方法，因此，在某种程度上，笔者对笛卡尔的辩护也是对其观点的一种创造性重构。这里的关键在于笛卡尔对于当下“清楚分明的知觉”与对“清楚分明的知觉”的回忆之间的区分，或者说对于真理与对真理的回忆的区分。正如笛卡尔在第四组反驳中所说：

当我说我们确知我们非常清楚、非常明白地领会的东西之所以都是真的是因为上帝存在，而我们确知上帝存在是因为我们对上帝存在领会得非常清楚、非常分明。我这样说并没有陷入循环论证中，我是把我们事实上领会得非常清楚的东西同我们记得以前曾领会得非常清楚的东西区别开来。[2]247

以此为基础，笛卡尔可以说“清楚分明的知觉”确实证明了上帝的存在，但这个标准本身并非再需要上帝存在来保证，上帝存在以及他不是骗子仅仅确保那些曾经“清楚分明的知觉”到的，但当下并没有直接知觉的那些知识的真实性，或者说仅仅确保对真理的回忆为真。用笛卡尔自己的话说，即是“还需要我们记得曾经把一个东西领会得清清楚楚以便确知它是真的，如果我们不知道上帝存在，不知道他不可能是骗子，这就不行”[2]247。事实上，笛卡尔在正文部分就已经表达了类似的观点：“当我考虑三角形的性质时，我显然知道三角形之和等于二直角……可是，只要我的注意力稍微离开证明，虽然我记得我是清清楚楚地理解了它的三角之和等于二直角，不过假如我不知道有一个上帝，我还是很可能会怀疑它的真实性的，因为我可以说服我自己：大自然使我生来就很容易能够在即使我以为理解得最明显、最可靠的东西上弄错。”[2]73而在稍后出版的《哲学原理》（1644年）中，我们再次看到了这种区分：“我们只要注意这一类的结论（在此指数学命题）所由以推演出来的那些前提，我们就会相信它们的真实。不过，心不能永远注意思维这些前提，当它只记得结论而不记得演绎的步骤，并且不确知造物者把它造得易于受骗时，它就看到正当理由可以怀疑那一类结论的真实，并且以为自己在发现它的造物主以前，不能有任何确定的知识。”[6]5

从以上分析中，我们可以明确地看到笛卡尔在当下进行的“清楚分明的知觉”或当下的“我思”与对它的日后回忆之间所做的精细区分。笛卡尔认为，对于前者，人们不需要上帝存在来确保其为真，相反它是自明的，“我思”仍然是其哲学的第一原理。唯有当我们不再关注“演绎的步骤”，而仅仅回忆其结论时，我们才需要上帝存在以及不是骗子来保证其真实性，否则人们就仍然有理由去怀疑它。这样笛卡尔就能成功地避开循环论证的指摘。

也许有人会质疑，固然笛卡尔通过上述区分能够摆脱循环论证之嫌，但是难道它不也恰好表明以“清楚分明的知觉”作为其真理之保证的数学真理，并非依赖于同样建立在“清楚分明的知觉”之上的上帝吗？因而笛卡尔为数学真理所做的有神论论证不是仍然破产了吗？正如一位评论者所说：“他（指笛卡尔）的这个区分最终将使他的整个体系面临坍塌的危险，至少就数学真理而言，笛卡尔再也无法宣称唯有上帝的良善才是它的真正保障。上帝在笛卡尔体系中的地位恰恰由于这个区分而被严重削弱了。”[7]45

虽然笛卡尔本人不可能再对上述质疑做出回应，然而我们通过对笛卡尔观点和文本的细致分析，仍然有可能为其辩护。如果所有数学真理确实都可以通过当下的“我思”来认识，那么我们就不得不承认它们无须上帝来确保其真实性。然而，虽然像“二加三等于五”，或者诸如“三角形内角和等于两直角”这样的简单数学真理确实可以通过当下直接的“我思”来把握，但是大部分的数学真理往往是建立在复杂的推演过程之上的，而不是仅仅通过一次“我思”就能认识的。也就是说，在证明一个复杂的数学真理时，人们必须首先在之前的多次“我思”中完成对它的各个前提的证明，接下来再在一个新的“我思”中通过对之前若干前提的回忆以及对它们的综合，来完成对这个复杂数学真理的最终证明。按照笛卡尔的上述区分，虽然人们每一次对中间结论的“我思”都是自明的，并因而无须上帝来保证，但是人们日后对它们的回忆却并不是“清楚分明的”，然而，为了在最后一次“我思”中能够完成对最终结论的证明，人们又必须要求那些回忆也必须真实，而正是在这里体现出上帝存在以及不是骗子的作用。如果上帝不存在或者上帝是骗子，那么人们就仍然有“正当理由可以怀疑那一类结论的真实”。

这种辩护的一个关键前提在于对“我思”的范围的澄清。按照我们的解释，当下或某一次的“我思”只能把握有限的内容，“它不同于后来像谢林等哲学家所声称的能把握无限、世界整体的神秘直观”[8]68。这种解释符合笛卡尔本人的说法，他在第六个沉思中明确地说他能够很容易想象三角形的事物，但无法想象千边形的事物[2]66。我们知道，无论一个几何学家多么老练，他也不可能仅仅在一个“我思”过程中就能够洞察整个复杂的几何证明，而总是必须利用笔和纸，在符号的帮助下克服其心灵的局限，从而才能完成证明。笛卡尔在其第一部哲学著作《指导心灵的规则》中曾指出人们“必须在一个连续的、毫无间断的过程中考察相关的简单命题，以便反思它们的相互关系，并尽可能多地达成关于它们的准确概念”[9]37。这里的限定词“尽可能多”暗示了“我思”的局限性。因而对于笛卡尔而言非常重要的是要确保一个曾经被证明的结论在其日后被回忆起时不会再受到怀疑，否则一个复杂的数学证明将无法完成。而笛卡尔认为，上帝存在以及不是骗子就确保了这一点。笛卡尔自信地表示：“只要我是把它（指上帝存在———笔者注）清楚、分明地理解了……这样我对这个事物就有了一种真实、可靠的知识，这个知识也就推广到我记得以前曾经证明过的其他一切事物，比如推广到几何学的真理以及其他类似的东西上去。”[2]74查尔斯称它为“上帝的记忆功能”[10]205。正是由于它的缘故，人们才能无惧欺骗的困扰而利用一个曾经证明过的命题，才能从有限的“我思”中发展出关于外部世界和数学的真理。这是笛卡尔真正希望上帝存在在其哲学体系中应该扮演的角色：上帝不是骗子，因而他确保当一个数学家回忆起之前已经证明过的结论时，这个回忆不会骗人。

三、无神论者能认识数学真理吗？

如果数学真理确实像笛卡尔论证的那样依赖于上帝，那么一个直接的问题便是无神论者能认识数学真理吗？笛卡尔其实并不否认“一个无神论者能够清楚地认识三角形三角之和等于二直角”[2]144。但是，由于这些知识只有当它们被当下“清楚分明的知觉”时才能确保其为真，因而笛卡尔宣称无神论者的数学论证仍然可以怀疑，除非他“承认一个上帝”，否则“他就永远不能摆脱有怀疑的危险”[2]144。这意味着笛卡尔最终否定了无神论者能够利用“上帝的记忆功能”。在对第二组反驳的答辩中，笛卡尔坚称一个无神论的几何学家将不可能对其领域有真正的认识。笛卡尔使有神论成为数学研究之所以可能的基本承诺，一个不能承认上帝存在的几何学家只拥有“道德的”确定性，而非“绝对的”确定性。

也就是说，笛卡尔不仅宣称对于认识数学真理而言，上帝的存在是必需的，而且进一步宣称人们必须首先“承认”、信仰上帝存在以便收获“上帝的记忆功能”的好处。就前一点而言，通过上一节的论述，我们认为它可以避免循环论证的指摘，并因而是可靠的，然而对于后一点，笔者则认为是不可靠的。人们是否必须首先“承认”、信仰上帝存在，随后才能获得“上帝的记忆功能”的好处呢？或者说对上帝存在的信仰是否是“上帝的记忆功能”发挥效力的必要条件？笔者表示怀疑。

笛卡尔的问题在于：他一方面认为上帝的存在能够让人们超越“我思”的局限性。然而，另一方面他的思辨蕴含了这样的观点：除非人们对“上帝的记忆功能”表示“承认”，否则上帝就不能真正实现该功能。因此，一切最终取决于无神论者的默许，因为只有当他真诚地“承认”上帝存在，“上帝的记忆功能”才能发生效用。然而，这恰恰与有神论者的如下普遍预设是矛盾的：上帝是全能全知的存在者，它的行为决不受人类的影响。在这一普遍预设下，竟然允许一个人（无神论者）能够对上帝的某种功能（“上帝的记忆功能”）行使否决权，这在逻辑上是讲不通的。而一旦我们像笛卡尔那样让对上帝的信仰成为其“记忆功能”的必要条件，那么事实上也就是在“上帝的记忆功能”是否能够真正发挥作用这一点上，认为是无神论者而不是上帝才是最终的裁决者。因而，即使笛卡尔发现只有上帝存在才确保了数学真理，他也无权否定无神论者同样能够认识数学真理。

在此，关键在于首先反思有神论者的预设：上帝不仅仅只是思想中的存在，而是独立于任何心灵的存在，或者说，无论人们是否承认它，它都存在。正是基于这一点，当一个无神论的数学家拒绝承认上帝存在时，他也能收获“上帝的记忆功能”的好处，如果这种功能确实存在的话。而且许多无神论者每天都能幸福地生活这一事实也迫使有神论者必须承认上帝自己并不会为无神论者的存在而烦恼。因而，在笔者看来，笛卡尔关于对上帝的信仰是收获“上帝的记忆功能”的好处的必要条件的观点是不成立的。无论是有神论还是无神论的数学家都能够无惧欺骗地相信其对数学真理的回忆为真。

如果我们问对于数学真理，上帝的存在究竟起什么作用？那么很明显对于笛卡尔而言，上帝通过其良善确保了对数学真理的回忆是真的。然而，如果我们进一步追问对上帝的“承认”、信仰起何作用，那么回答只能是：就他知道了为什么他过去的证明仍然成立而言，它给他带来了某种安全感。然而，缺乏或者具有这种信仰并不会改变最重要的事情。换种说法，人们无须事先认识某物以便能够使用它。所以，即使无神论者对于他的回忆之为真可能具有其他的解释，或者根本没有任何解释，他也能够利用他对之前数学论证的回忆。

为此我们可以考虑一个类比，事实上直到今天人们仍然没有完全认识人类语言的起源，但即使这样，人类仍然无法离开语言，并从对语言的使用中收获好处。难道当并且只有当人们对于文字的起源有了一个令人完全信服的解释之后，我们才能宣称人类的语言文明是合法的吗？当然不是。如果有一位语言学家确实发现了语言的起源，并且他并不打算将其发现与人分享，那么这个发现将只能确认语言的确有某种起源———虽然只有那位语言学家知道它究竟是什么。如果这位语言学家以笛卡尔的方式声称只有那些认识了语言起源的人才能正确地使用语言，那么我们对他只能嗤之以鼻。同样，笔者认为，笛卡尔将对上帝的信仰看作“上帝的记忆功能”发挥效用的必要条件的观点也应该受到相同的对待。因此，有神论与无神论的数学家最终以同样的方式展开他们的工作。无神论数学家所回忆的数学真理丝毫不会比有神论者的回忆更有争议。按照笛卡尔的观点，一方由于缺乏上帝信仰将会使虚假渗入他们的回忆，另一方面只有具有上帝信仰的一方才能垄断“上帝的回忆功能”。如果确实如此，那么我们可以预言无神论的数学家必然在其工作中失败。然而，我们必须承认有许多不同信仰的人在数学成就方面超越了笛卡尔。例如欧几里得就不是基督徒。

笛卡尔宣称无神论者不能获得真正的数学知识，一个重要的原因在于他认为自己已经掌握了关于上帝及其与人类知识之间关系的重要事实。然而，当他要求他人也都要体验他在《第一哲学沉思集》中体验到的类似启示，他事实上就暗中破坏了有神论者关于上帝是不依赖于人类心灵的独立存在者的预设。这无疑也是作为有神论者的笛卡尔本人的预设，他在为上帝存在的本体论辩护时以确定的口吻写道：“不是因为我把事物（这里指上帝的存在———笔者注）想成怎么样事物就怎么样。”[2]70因而，如果对X的思想并不是使X成为实在的前提，那么那些对X没有思想的人就能够分享X带来的好处。安慰剂效应（placebo）与反安慰剂（nocebo）效应表明心理的“确信”的确具有某种独特的效用，然而，显然是维生素C本身，而不是我们拥有关于维生素C的知识能够促进人们的健康。

四、结论

对于笛卡尔而言，数学真理是否依赖于有神论的上帝信仰？通过本文的考察，回答是肯定的。与许多评论者认为笛卡尔在真理标准、数学真理与上帝存在的证明之间陷入了循环论证不同，笔者认为笛卡尔借助在“清楚分明的知觉”与对“清楚分明的知觉”的回忆之间的区分成功地避开了循环论证的指摘。对于笛卡尔而言，数学论证的复杂性要求对中间结论的回忆为真，而上帝存在以及不是骗子正是为了保证这种回忆的真实性。

然而，笛卡尔未能严肃地考虑有神论的预设，他未能意识到当一个有神论者宣称“上帝存在”时蕴含了上帝对人类事务———在此即指对数学真理的探索———的管理并不受到任何人的影响，并且无须任何人为其添加一层额外的宗教情感外衣。穆瓦亚尔就曾指出无神论的数学家可以这样反讽：“我的那些有神论的同事们确保了我的证据。”[11]281总之，如果有神论成立，或者说上帝确实存在，那么“上帝的记忆功能”无论对于有神论还是无神论的数学家们就同样发生效用，而无须人类对这份礼物的额外感谢。

参考文献：

[1]黑格尔.哲学史讲演录:第4卷[M].贺麟,王太庆,译.北京:商务印书馆,1983.

[2]笛卡尔.第一哲学沉思集[M].庞景仁,译.北京:商务印书馆,1986.

[4]哈特费尔德.笛卡尔与《第一哲学的沉思》[M].尚新建,译.桂林:广西师范大学出版社,2007.

[6]笛卡尔.哲学原理[M].关琪桐,译.北京:商务印书馆,1958.

黄毅.论笛卡尔关于数学真理的有神论基础[J].信阳师范学院学报(哲学社会科学版),2020(05):9-13.

基金:国家社科基金项目(17CZX074)