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高观点视角下研究初等数学的途径

  2019-12-27    465  上传者:管理员

摘要:“高观点下的初等数学”是指用高等数学(包括经典高等数学和现代数学)的知识、思想和方法来分析、解决初等数学的问题。笔者从“高观点”视角对《普通高中数学课程标准》进行了解读,简要阐述了高观点下初等数学相关研究,依托行列式概念开展高观点下初等数学研究的若干途径。

  • 关键词:
  • 初等数学
  • 行列式
  • 高等数学
  • 高观点
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近年来,数学教育、教学改革多在教学方式上下功夫,教师进修更多的是关注教育理念的更新,忽视了现代数学的进展。实际上,从数学教师专业化成长的需求看,加强教师对数学内涵的理解、数学本质的把握是十分重要的,用现代数学知识武装中学教师是初等数学教育现代化的前提。菲利克斯·克莱因认为,数学教师应该具备较高的数学观点,理由是观点越高事物越显得简单。他告诫人们:数学教育的改革不能采取保守的、旧式的态度,数学教育工作者的头脑中应始终保持着近代数学的观点,学会用现代数学来改造初等数学[1]。然而,现实是大部分的数学老师缺乏运用高等数学观点解决中学数学问题的意识,“高观点”统率全局的能力也有待提高。如何开展“高观点”下初等数学的研究,本文以“行列式”为例,探索开展高观点下初等数学的途径。


1、“高观点”含义


“高观点”是“高观点下的初等数学”的简称。“高观点下的初等数学”是指用高等数学(包括经典高等数学和现代数学)的知识、思想和方法来分析、解决初等数学的问题。这里的知识应该是策略性知识,即能够借助实例和直观模型为中学生所接受,突出思想和方法,强调理解和应用,不追求严格的证明和逻辑推理。“高观点下的初等数学”这一重要数学思想发端于19世纪末20世纪初的一场数学教育改革运动(克莱茵-贝利运动)。德国数学家、现代国际数学教育的奠基人菲利克斯·克莱因主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系,他认为高等数学的方法,可以和中学数学相通,也可以迁移到中学数学中,高等数学的思想、方法不仅可以帮助我们从更高的层面上理解初等数学问题,确定解题思路,还能帮助我们进一步探索初等问题的实质,寻求更简捷的解决方法。他强调要用近代数学的观点改造传统中学数学的内容,主张加强函数和微积分的教学,改革和充实代数的内容,倡导“高观点下的初等数学”意识。克莱因还积极投身到中学数学教师的培训,亲自为培训班授课,他的授课讲义便是名著《高观点下的初等数学》(1989年翻译成中文)。这些都深深地影响了近代的数学教育。


2、《课标》解读


《普通高中数学课程标准(实验)》自颁布实施以来,倍受关注,人们从不同的角度研究《标准》,发现新情况,解决新问题。这里我们来探寻其中所体现的“高观点”,期望揭示“高观点”在《标准》中的体现,为开展“高观点下初等数学研究”的必要性寻找依据。

从理念上看,一方面《标准》提供多样的课程,适应个性的选择,这一点包容和接纳了“高观点”;另一方面,与时俱进地认识“双基”的理念符合“高观点”作为一种数学思想方法的定位,因为“高观点”就是为了删繁就简、去粗取精、改善知识结构、提高能力水平[2]。从教学内容选择上看,《课标》明显加大了经典数学和现代数学的知识含量,必修课程部分模块(如算法初步、统计、概率),特别是大部分选修专题既呈现了现代数学的多个分支,又兼顾了数学史,并凸现了数学思想方法。从数学高考命题方面看,一类具有衔接高等数学与中学数学作用的新题型(不妨称为“高观点题”)越来越受到命题者的青睐,频繁地出现在近些年的数学高考题中。我们都知道,一线教师在课程标准实施过程中扮演着十分重要的角色,正确认识、积极开展“高观点下初等数学研究”对课程标准的落实有十分重要的意义。


3、高观点”研究回顾


高等数学和初等数学的划分一方面是由于数学的发展,另一方面是由于学校教育的需要,但这两个领域联系紧密又有交叉和融合。这就意味着“高观点”实施的可能性。开展“高观点下初等数学研究”,数学的思想和方法在中学数学中的渗透、高等数学在中学数学的具体指导实践、中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析等是人们经常采用的研究途径。

1989年蒋声教授提出“渗透观”,建议把现代数学观点和方法,如集合、对应等思想,渗透到传统的中学数学教材中去,利用这些规律来指导数学教材的研究、备课和讲课、考试和竞赛等[3]。季素月教授等指出为保障渗透的顺利,实施渗透时需要注意遵循科学性、量力性和实用性等原则。

美国学者吉姆·费(Jim Fey)提出:把数学的概念、原理、技能和说理方法翻译成可以为大多数学生所掌握的样子,即所谓的“初等化”。这里的“初等”有两层意思:一是对特定的学生群体是基础的,是可接受的;二是它是基于合理性、科学性、可行性的问题。近年来,张景中和林群两位院士,分别以全新的方式将“微积分”初等化。张景中先生提出的初等数学里的微积分,严格却不用ε-δ语言,而且用初等数学可以说清楚的语言,巧妙地用不等式化解“微分中值定理”的功能,最终将微积分初等化称为第三代微积分[4]。课程标准已提供了大量“初等化”可选择的内容,比如向量,微积分初步知识,矩阵,群,布尔代数、图论等。陈月兰教授著书对其中涉及的现代数学思想、方法做了详细的解读。沈刚教授结合现代数学思想方法对一些数学概念进行分析和充实,比如用集合的概念揭示自然数的本质规律,加深对数学归纳法证明命题的合理性的认识;用方程和方程组的同解变形原理,帮助师生减少了解方程过程中验根的盲目性等问题。

在解题研究方面,人们讨论较多的是启发观。“高观点”下的启发是指从大学数学课程获得启示,指导中学数学解题或教学研究。而大学数学课程对中学数学解题的启发主要有思想上启发,方法上启发和结论的启发。

然而如何运用高等数学的知识,从更高的层面重新认识初等数学中重要的概念、理论及背景,如何运用高等数学的方法统一解决初等数学中一类问题,更深刻地认识初等数学与高等数学之间的内在联系。开展“高观点下初等数学研究”途径的选择是中学数学教师感到困惑的问题。


4、依托行列式开展的研究


本节介绍如何依托行列式概念开展“高观点下初等数学”研究,所提出的观点、思路和方法是否恰当,请同行们讨论交流,提出宝贵建议。

4.1 行列式简介1683年,日本数学家关孝和从高次方程组消元法入手,提出了行列式的概念及算法。1693年,德国数学家莱布尼兹从线性方程组的求解入手给出行列式的概念。此后,行列式的相关研究逐渐增加,现代数学给出的行列式的定义是:定义1

行列式是研究方程(方程组)的解法而产生的数学概念,它整齐、便于记忆,又有许多特别的性质,广泛应用于数学学科的众多分支。从数学方法论的角度看,高等代数在知识上是中学数学的继续和提高,在思想方法上是中学数学的延续和扩张,在观念上是中学数学的深化和发展。作为初、高等数学衔接的数学概念,行列式自然在“高观点下初等数学研究”中扮演重要角色,成为开展该项研究的载体。克莱因在《高观点下初等数学》一书中多次使用行列式作为介绍相关知识的工具。比如在讲解:例题1

的运算结果说明哈密顿的约定确实是漂亮、精彩的,同时指出它也是非零四元数的倒数,是唯一确定的最简要的表述。另外,还利用行列式给出直角坐标变换下空间图形的分类,介绍了平面上格拉斯曼行列式原理和格拉斯曼空间原理等。

4.2 研究初探行列式作为一种重要的数学工具是如何从更高的角度、更便捷地解决中学数学中的问题的呢?这里我们给出几条研究思路。

4.2.1 从行列式的定义和性质思考分解因式问题

行列式本质上是一个数,依定义该数是若干个数的乘积的代数和,而行列式的性质中有按行(列)公因式提取,乘法规则等,这个数又可以表示成若干个数的积。同样每个多项式既可以表示成若干多项式的代数和,又可以表示成若干多项式的乘积。因此只要将待因式分解的多项式先用行列式表示,然后利用行列式的性质对其计算,就能实现对多项式的因式分解。例题1

从上述问题解答过程看,应用行列式进行因式分解重在构造,然后利用行列式的性质进行运算,计算只要能发现一行(列)的公因式并提取出来,就能实现对多项式的因式分解,当然本题中x3-1=(x-1)(x2+x+1),x4+x2+1=(x2+x+1)(x2-x+1)是思考问题的基础。一般地,一个n次多项式总可以表示为:公式1

再做适当的计算就可以实现因式分解的目的。上述讨论同样可以推广到多元多项式。

4.2.2 从行列式的几何意义思考面积、体积问题

通过向量及其数量积、向量积运算,二、三阶行列式对应的数分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积。具体地,二阶行列式表示平面上以α=(a1,a2),β=(b1,b2)为邻边的平行四边形的有向面积,这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β时,得到面积取正值;当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量β系时,体积取负值.改变任意两向量次序,取值符号改变,对应交换两行行列式改变符号的性质,如果α=α1+α2,行列式按行拆和对应两平行六面体的体积之和[5]。行列式与几何体的面积、体积的关系是数学中的基本关系,体现了几何与代数的和谐统一,为运用解析几何的思想解决相关问题提供了可能.我们来看一道高考题:例题2

在平面直角坐标系中,三角形面积公式更多使用的是三阶行列式,有下列常用结论:

利用行列式的几何意义还可以判定空间直线的位置关系、计算两异面直线的公垂线的长度等。在平面直角坐标系中,三角形面积公式更多使用的是三阶行列式,有下列常用结论:结论1

利用这些结论可以证明梅涅劳斯定理和塞瓦定理等。

4.2.3 从行列式的方程应用思考

解三角形、数列问题行列式的直接应用便是解线性方程组,最著名的结论是克莱姆法则:非齐次线性方程组系数行列式不为零的充分必要条件是该方程组有唯一解。运用于齐次线性方程组,齐次线性方程组系数行列式不为零(为零)的充分必要条件是该方程组只有零解(有非零解)。利用克莱姆法则可以构造线性方程组获得众多等式的证明。先来看余弦定理的一个证明。例题3

证明过程从射影定理得到相关等式到构造齐次线性方程组,运用克莱姆法则自然流畅,易于理解。类似的,我们可以讨论等差数列和等比数列的相关等式:公式1


5、结束语


“高观点”这一重要数学思想能否在课程标准实施过程中发挥作用,与中学数学教师合理的角色定位分不开。“高观点下的初等数学”作为数学教育、教学研究的一个研究方向,具有自身的特性,需要我们认真去思考。研究过程中必然包括:选择研究内容、讲解相关知识以及解决问题,而知识的衔接和组织则贯穿始终。所以希望中学数学老师要做适合“高观点”的内容选择者,相应高等数学知识的传授者,高初合理衔接的组织者。


参考文献:

[1]菲利克斯.克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹,等,译.上海:复旦大学出版社, 2008.

[2]张劲松.论“高观点下的初等数学”及其在新课标中的体现[J].数学教学研究, 2008(04): 2- 5.

[3]蒋声.渗透论[J].扬州师院学报(自然科学版), 1989(03): 64- 70.

[4]张景中.不用极限怎样讲微积分[J].数学通报, 2008 (08): 1- 9.

[5]陈志杰.高等代数与解析几何(上)[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[6]李尚志.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.


建华.高观点下初等数学研究途径再探[J].阴山学刊(自然科学版),2016,30(4):5-9.DOI:10.3969/j.issn.1004-1869.2016.04.001.

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