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基于三角背景解析代数不等式
摘要：本文基于三角背景对几种常见类型的不等式进行了梳理总结，并将这些知识应用于代数不等式的证明问题的解析。
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代数不等式是数学竞赛中一种不可或缺的题型。那些精美的不等式往往使人绞尽脑汁，但又让人爱不释手，在敬佩、感叹之余，人们心中往往会产生疑惑：这些不等式是怎么想到的。有没有证明的捷径？笔者发现，代数不等式有几种常见的三角背景。本文借用数学竞赛、期刊杂志和安振平新浪博客中的代数不等式。对几类常见代数不等式的三角背景作一个总结。供大家参考。
本题是笔者向«数学通讯»提供的一道征解试题。发表于«数学通讯»2019年2月学生刊。例1的来源是1998年韩国数学奥林匹克竞赛的一道试题：设x。y。z＞0且满足x＋y＋z＝xyz。求证：
（«数学通报»2018年9月数学问题2442）
（安振平新浪博客不等式问题4712）
（2011年中欧数学奥林匹克竞赛试题第2题）
（1996年越南数学奥林匹克竞赛试题第3题）
（安振平新浪博客不等式问题4714）
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立。
总之，从代数式的结构出发。对代数不等式问题的三角背景进行挖掘。新颖复杂的代数不等式往往就转化为优美整洁的三角不等式。从三角的视角去研讨问题。为问题的解决找到了一条“柳暗花明又一村”的捷径。
参考文献：
[1]彭翕成.杨春波.程汉波.不等式探秘[M].长沙:湖南科学技术出版社.2015.
[2]范建熊.不等式的秘密:第一卷[M].隋振林.译.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社.2012.
[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社.2008.
[4]波利亚.怎样解题[M].涂泓.冯承天.译.上海:上海科技教育出版社.2001.
江保兵.几类代数不等式的三角背景[J].中学教研:数学版,2019(8):48-48.
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1、基于核心素养视角的线性代数教学改革研究与实践2、三角形网格上形态开闭算子的研究3、浅谈线性代数教学中的直觉思维的培养4、工科数学课程群建设5、培养综合应用能力的离散数学教学改革研究6、疫情期间线性代数课程线上教学模式探索7、线性代数课程应用能力的培养途径和方法研究——以软件工程专业的教学实践为例8、基于独立学院的高等代数教学研究
2020-08-11
“线性代数”是工科类本科生的专业基础课程，其主要处理线性关系问题。课程的内容主要包括基础概念—行列式、矩阵及其运算；基本变换—矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性；以及线性问题分析—相似矩阵及二次型等内容。采用MATLAB解决矩阵特征值问题的相关教学实践论文已有报道[3]，此外，将微课应用到线性代数的教学中也取得了良好的效果[4]。
2020-08-10
独立学院,也常称为独立二级学院,是由公办普通本科院校与社会力量联合举办的相对独立的二级学院.独立学院数量众多,招生人数众多,招生录取分数线普遍较低.为了适应社会发展对人才的需求,绝大多数独立学院的人才培养定位为“应用型”人才.在开办之初,很多独立学院是照搬母体高校的课程体系和教学模式,但是由于独立学院学生的基础较母体高校的学生之间存在着较大差异,教学上很难达到独立学院人才培养的要求,其中数学课程教学中出现的问题尤为突出.
2020-08-10
2020年春季学期，哈尔滨理工大学线性代数课程网络教学如期开课，哈尔滨理工大学理学院数学系线性代数课程教学团队结合学习通平台、微信群和腾讯QQ与学生保持互动学习，并建立基于网络、手机、电脑的教学新模式，基于学校自建课程进行混合式教学，立足本校学生学情和需要，使线上线下的混合式教学很好地衔接。教学模式信息化的改革，增添了教学活力，促进了教学互动，并且较高效率地完成教学任务，达到了教学大纲要求的教学效果。
2020-08-10
外汇储备作为我国关键形式的储备资产,同时又是我国基础货币投放的主要渠道。自1994年我国实行以市场供求为基础、有管理的浮动汇率制度以来,我国外汇储备规模大幅扩大,从2006年开始,我国外汇储备规模位列世界第一,外汇储备的增加有提升国家声誉,吸引外商投资和拉动国民经济等积极影响。
2020-08-04
在线性代数教学中,求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题都可以借助于矩阵特征值与特征向量实现。本文对这些问题进行了归纳与分析,以便学生能够熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法,熟悉特征值与特征向量在线性代数教学中的应用。
2020-06-28
数学作为工科院校的一门基础课，对学生学好专业课起着至关重要的作用。通常情况下，工科院校开设的数学课程主要包括高等数学、概率与数理统计、线性代数、积分变换等，在这些课程中，普遍存在“教师难教，学生难学的现象，特别是线性代数，表现得更为突出。文章从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面提出了工科线性代数教学策略。
2020-06-28
目前,关于连续函数空间中基于框架的构造、性质、函数空间刻画及其在信息处理中的应用已经得到了完善与发展。然而,在实际应用中,由于输入/输出数据和滤波器都是离散的,所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的。基于数字的框架又名为离散空间中的框架,并不一定能够通过连续环境中的框架离散化得到,即使可以得到,也必须附加许多条件。
2020-06-28
众所周知,代数闭域K上的Sylvester矩阵方程AX-XB=C有唯一解当且仅当矩阵A和矩阵B无公共特征向量。为深入讨论,利用Sylvester算子研究了Sylvester矩阵方程在任意域K上的可解性,得到其有唯一解当且仅当A和B的特征多项式无公共素因式的结论。在Sylvester矩阵方程有解的情况下,给出了其多项式解。
2020-06-28
广义柔度矩阵可利用低阶模态参数近似表示,因此受到广泛关注.本文基于广义柔度矩阵引入广义模态柔度矩阵,利用Nelson方法计算其对损伤参数的敏感性.本文提出的损伤定位方法,相比于现有方法,在振型数据不完整及含有噪声的情况下,该方法具有使用模态参数少,定位的损伤单元数比实际损伤单元数略多且不遗漏损伤单元等特点.
2020-06-28
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期刊名称：数学进展
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主管单位：中国科学协术协会
主办单位：中国数学会
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0917
国内刊号：11-2312/O1
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创刊时间：1955年
发行周期：双月刊
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2020-03-27
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