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数学思想方法在高等数学教育中的应用

2021-10-13 109 上传者：管理员

摘要：高等数学教育区别于中等数学教育,在系统化和严谨程度方面有极大的差异,无论是知识储备还是思维逻辑,学生在学习高等数学的过程中都必须明白数学思想方法的重要性,认识到知识的本质,从传统知识本位的学习向能力本位进行转变,增强知识实践运用能力。文章基于数学思想方法的重要性展开论述,探讨其在高等数学教育中的积极作用。

关键词：
数学思想方法
高等数学
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从学习高等数学开始，学生就要学会更加严谨地思考问题，逐个定理概念定义地建立公理化思维方式。除了数学专业之外，其他相应专业对证明的训练，都会侧重于目的，学习知识不再是针对个别问题的“奇技淫巧”，而是掌握一类问题系统化的通用解法，这是一个完整的理论体系化的思维过程。区别于高中数学的知识点对应，高等数学教育则是更加深入，了解知识内涵的关联性。这就意味着学生的学习思维不能局限于收集整理，推理猜测，而要更加主动的思考探究。

1、数学思想方法的内涵

现代汉语中，“思想”一词解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《辞海》中称“思想”为理性认识。《中国大百科全书》认为“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。毛泽东在《人的正确思想从哪里来》一文中说：“感性认识的材料积累多了，就会产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。”综上所述，思想本身属于认知产物，是个体严谨判断后总结的高级认识，接近于某一事物或现象的本质[1]。因此，数学思想可以概括为对数学事实、理论概念的一种宽泛认知，对数学知识内容和内涵有着本质概括。其特征就在于思想方法中有着独特的数学原理和工具手段，高中数学作为中等数学教育，函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然等数学思想方法就揭示了学生逻辑思维、空间想象能力、抽象概括等数学核心素养养成的思想基础。这些思想方法决定了学生看待相应数学问题的思考方式。掌握和运用数学思想方法的重要性就在于更高效、更直接地解决数学问题，赋予数学意义。数学思想方法是一种技巧，但这种技巧是经过时间的积淀和数学家的呕心沥血，千锤百炼而来的，在千万次的猜想、推理、演算、验证中得到的。学生认识并掌握数学思想方法，会开阔自身眼界，发散思维，逻辑更加严谨。

2、数学思想方法常见的类型分析

2.1化归思想

学生在面对该数学问题时，能够根据问题中的条件对问题进行转化，将未知知识转化为已知知识，降低原有数学问题的难度和复杂性，是高等数学教学阶段应用度较高的一种思想方法。该方法具有目的性、方向性等特点，学生掌握该方法并熟练运用，能够在较短时间内顺利解决问题[2]。

2.2类比思想

该方法的运用即分析两个不同数学对象之间存在的相同之处，主要涉及性质特征等内容[3]。通过对这些内容的对比观察能够推测出两者还可能存在的相似点，以此为关键条件，对问题展开思考分析和解答。但该思想在运用过程中所得出的结果并不具备较强的真实性，所以需要学生通过实例检验的方式进行证明。

2.3归纳思想

该思想方法也是目前高等数学中应用程度较高的一种，其主要对一些特定的情形、实验进行观察分析、思考推理，在逐步探究过程中得出相应的结论，以解决问题。该思想主要涉及完全归纳和科学归纳两种类型，学生在应用过程中还需要根据具体的事物对象和数学问题进行合理选择。

2.4数形结合

在解决数学问题时，学生能够发现和找到数学问题中包括的“数”和“形”，找到两者之间的联系，并将两者进行有效结合。应用该思想方法，能够帮助学生准确了解到一些“数”所具备的属性，以及清晰观察出“数”与“数”之间存在的关系，以便于学生顺利找到解题关键点，快速正确解决问题。

3、数学思想方法在高等数学教育中的应用原则

数学思想方法源于“数”的概念，从变化规律到代表含义，数学是抽象含义的具现化表示，高等数学教育由微积分、空间向量、空间曲面、空间曲线、数项级数和函数项级数等内容组成，无论是基础或复杂的计算还是推理证明，高等数学都格外注重数学分析，分析的基础就在于思想方法，如果缺少特定的技巧、思维僵化，学习数学就会难上加难。以高斯速算为例，我们知道，乘法在某种意义上是加法的简化。13+15+17+.....+2015，高斯速算利用转化的数学思想，可以将整个算式的答案设为s，则2s=(13+2015)+(15+2013）+…+（2015+13），利用首尾相加，这就使得整个算式变为相同的数字相乘，从而简化了解题过程。但高斯速算的重点在于确认流程，也就是中间数，在本题表现为2028与？相乘。小学阶段的认知是通过区分12-2016的整数和奇偶数量，初高中在接触函数与方程的思想后，可以结合几何代数的未知求已知的特点，设n为正整数，所有奇/偶数都可以表示成2n+11，代入最后的2015，得到n=1002，即13-2015的奇/偶数为1002个。除此之外，还可以通过数形结合的思路，构建理论层面的数学模型，一个上底13，下底2015，高1002的梯形，利用梯形面积公式进行计算，让学生来比较不同问题中的相同答案所代表的数学含义，结合数学思想方法的特征去感知具体的时间运用过程。由此可以看出，不同知识水平或思维层次的人看待一个简单的加法算式，是根据自身思考模式来考虑问题的，他们的知识储备和思考方式直接决定了他们的解题思路，这就意味着，他们所掌握的数学思想方法在他们接触到相应问题时会将问题以何种形式在脑海中呈现出问题本质。数学思想方法的运用原则在高等数学教育中更加注重学生的个体发展，学生对于数学思想方法的掌握情况，数学思想方法与数学问题的反馈以及学生知识实践运用过程中存在的问题，都会让学生更加真切地感知到数学思想方法的作用与意义[4]。

4、数学思想方法在高等数学教育中的作用

4.1循序渐进，加强意识教育

数学思想方法在高等教学中主要通过三个层次进行教育，第一层次是对数学思想方法的感性认识，即学生对教师在课堂上解题过程中所使用的思想方法和策略有所认识，能够初步理解，能够体会到这种思想和策略给解题带来的变化，也会在解题后概括总结出来。能够让学生对自身所学的知识和感受形成具体的印象；第二层次就是学会模仿，即学生在了解教师的解题过程后，通过解题思路，归纳和整理出的相应数学思想方法，运用相应的思维和做法去解决问题，学会模仿运用数学思想。这一环节最重要的是学生能够区分问题所表达的具体思想方法，不会混淆概念，也能够合理恰当地运用；第三层次是对数学思想方法的灵活运用，学生能够将问题与数学思想方法对应上，尤其是微积分中的极限问题、级数收敛的判别方法等一些可能存在多种思想的综合问题时，思考要循序渐进，推理假设，验证猜想，理解运用再理解，不断试错，不断提升。教师不但要在每节数学课中指出所传授的数学内容中蕴含的数学思想方法，还要在日常教学中逐步的指导和训练学生掌握运用这些思想方法解决数学问题，循序渐进，加强数学思想方法的意识教育，让学生尝试从数学思想的角度去思考问题，而不是根据问题使用数学思想[5]。

4.2加强创新意识教学，注重学习体验反馈

数学思想方法有利于培养学生数学创新意识，历史上，所有数学的发现与创新总是伴随着数学思想方法的变革，总是以数学思想方法的创新为前提。哥德巴赫猜想可能是正确的但却存在无法被验证的情况，无论是布朗本人利用筛法得出的“9+9”（每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，且这两个数每个都不超过9个素因数的乘积）；还是我国数学家陈景润利用布朗筛法证明了“1+2”（每个充分大的偶数都可以写成一个素数加上两个素数乘积）。数百年来，哥德巴赫猜想就像一面巨大而耀眼的旗帜，激励着无数数学家们向真理前行。数学思想方法对主观能动性的激发是巨大的，教师在教学中无论是强调实践技能还是理论知识掌握，都要鼓励学生创新，以悠久的数学历史和多样的数学问题培养学生的创新意识，让学生深刻接触数学思想方法。

4.3满足专业教育需求，制定专项教学方案

很多文科类专业也涉及高等数学教育，数学思想方法的教育对于相应专业的学生有时可以大过理论知识概念教育，比如历史系的学生对于文物的年代、细节的推理就涉及到转化、极限等思想；又比如文学系的学科课程人文性与工具性兼并，在鉴赏和认知方面主观性较强，或然与必然的思想渗透，能够让学生更加全面、客观地看待问题，养成良好的思维习惯，丰富学生的价值观念，培养学生正确的世界观。数学思想方法可以改变一个人看待现实世界的观点，，逐步培养他们正确的世界观。例如，函数的思想方法可以使人学会用运动变化的观点看问题；极限的思想方法可以使人真正认识有限和无限；数形结合的思想方法可以使人把客观事物的数量关系与空间形式联系起来，全面地洞察事物；统计的思想方法可以使人在纷繁芜杂的偶然现象中找出规律；公理化的思想方法可以使人具备从容不迫、胸有成竹的良好心理素质。不同的数学思想在相应专业的学习过程中都有助于启发学生的思维，激发学生的潜能，促进学生全面发展。

4.4注重课程内容改革，加强信息化教育

高等数学教育课程内容在教学规划和课程编排是具有严密的体系的，从数学的发展史来分析，当代高校高等数学教材的知识往往是按照需求和教学目的划分板块的，相应主题根据学生的知识储备或是教学大方向有一个具体的任务———培养学生相关能力素养。随着时代发展，科学技术的创新，传统教学模式中的单一教学思路被现代数字化学习资源、网络学习平台、名师线上讲座等形式打破，将系统性与历史性相结合，能够更好地从数学思想方法教育的角度切入，让学生从数学发展史来探求数学概念、定理和公式等内容，形成源头记忆，对数学知识有着更加全面详尽的了解。再者，高等数学教学阶段还要加强信息化教育力度，能够借助信息技术、计算机软件，将数学思想方法中的一些抽象概念通过虚拟建模的方式进行体现表达，呈现出一个数学知识与数学思想的具体转化。而学生则可通过数学模型等方式对高等数学知识进行深入了解，提高自身的数学学习水平。

5、结语

数学思想方法是数学知识的重要组成部分，是数学的观点和文化，是数学的精神和态度，加强数学思想方法教学，有利于学生掌握数学知识，培养数学思维，提升学生数学素养，有利于学生形成正确的世界观，有助于高等数学教育改革的深入发展，因此，在高等数学教育中必须加强数学思想方法教学。

参考文献：

[1]黄绍东.分析数学思想方法在高等数学教育中的作用[J].新商务周刊,2017,(6);265-266.

[2]李元仙.数学思想方法在高等数学教育中的作用浅析[J].内蒙古教育:基教版,2018,(12):98-99.

[3]张浩然.谈数学思想方法在高等数学教育中的作用[J].才智,2018,(17):1.

[4]宋岩.数学思想方法在高等数学教育中的作用[J].高考,2017(3);:21.

[5]赖诗评,谢有为.数学思想方法在高等数学教育中的作用分析[J].吉林广播电视大学学报,2020(11):97-98.

文章来源：马纪英.数学思想方法在高等数学教育中的作用[J].华东纸业,2021,51(05):84-87.