试论微积分的发展历史与应用

2019-12-28 892 上传者：管理员

摘要：微积分在许多领域发挥着关键作用。微积分是是近代数学的基础，同时也是高等数学中的核心内容，微积分基本定理是微积分理论中最重要的定理。本文介绍了微积分的起源与发展历程，并着重介绍了微积分基本定理及其解题实例。结合实际问题，给出了微积分在数学、物理学和经济学方面的具体应用；并在最后对微积分的重要意义进行了总结。

关键词：
微积分基本定理
微积分应用
微积分思想
微积分的发展
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微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。微积分是微分和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。微积分的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。

1、微积分的起源与发展

微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。

从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，因此被认为是微积分创立的先驱者^[1]。

17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，牛顿对此做出了巨大贡献。牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。同时，德国数学家莱布尼兹在前人理论的基础上也独立创建了微积分，并且他所创设的微积分符号至今为我们使用。然而牛顿和莱布尼兹都没能严格定义自己建立的微积分理论，尤其是对无穷小量的阐述存在矛盾，由此引发了数学史上的第二次危机。后来柯西严格定义了无穷小量、函数的极限和连续性等概念，并在此基础上，重新阐述了微积分理论，从而消除了无穷小量引起的混乱，第二次数学危机得到解决。经过数学家们的不懈努力，微积分最终发展成为一门逻辑严密完善的学科^[2]。

2、微积分基本定理

微积分理论包含许多重要的定理，其中牛顿莱布尼兹公式是最核心的定理，也被称为微积分基本定理。本节我们重点介绍一下牛顿莱布尼兹公式。微积分基本定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有^[3]牛顿莱布尼兹公式是联系微分与积分的桥梁，它证明了微分与积分是可逆运算，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系。它将定积分的计算转化为求被积函数的原函数，给求解曲线的长度、曲线围成的面积以及曲面围成的体积等问题提供了一个简单有效的方法。下面给出利用微积分基本定理计算的一些具体实例。

3、微积分的广泛应用

微积分的整个发展历程与实际问题密切相关。微积分可以描述事物变化的过程，从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用；从物理学的角度讲，可以用来研究物体变速运动或变力做功等问题；从经济学角度讲，能够用于企业的生产优化和决策等。

3.1 微积分在数学中的应用

例题1

3.2 微积分在物理学中的应用

例题2

3.3 微积分在经济学中的应用

例题3

4、结论

微积分反映了自然界和社会的运动变化规律，是近代数学中最伟大的成就。微积分是微分学和积分学的总称，包括实数理论、极限理论、导数理论、微分理论、积分理论等。它极大地促进了数学学科的发展，产生了许多以微积分为基础的数学分支，比如微分方程、复变函数、拓扑学、微分流形等[5]。微积分在天文、物理、经济学等领域也都有着广泛的应用，被誉为近代技术文明产生的关键事件之一。可以说，在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中，微积分起到了决定性作用。

参考文献：

[1]陈宁.微积分基本定理———微积分历史发展的里程碑[J].工科数学,2000(6):76-79.

[2]常会敏.探索国家开放大学数学与应用数学专业应用型人才培养研究-从微积分理论谈起[J].新疆广播电视大学学报,2018,22(3):8-11.

[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析-第2版[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]王宏军,贾月仙.数学微积分在经济方面的应用分析[J].科技创新导报,2017.

[5]黎海英.基于高师数学专业学生能力培养的微积分思想方法应用探析[J].大学教育,2018,102(12):78-80.

马雨嘉.微积分的历史发展及其应用[J].科学技术创新,2019,(27):8-9.