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谐振系中谐振子的基态与惯性系中的相干态研究
摘要：谐振子的量子态在不同的参考系中表现的形式不同.在简谐振动参考系中谐振子的基态,在惯性系中表现为谐振子的相干态.
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在经典力学中,研究质点的运动可在非惯性系中进行,但要考虑惯性力.考虑到量子力学是支持强等效原理的,惯性力势可采用通常的方式进入薛定谔方程[1].因此,量子理论既可以相对于惯性系,也可相对于非惯性系.在一个非惯性参考系——谐振参考系中,谐振子薛定谔方程的形式与惯性系中的相同,但量子态却表现的不同.
1、谐振参考系中谐振子的定态
在惯性系S中,建立坐标系O-x.另一参考系相对惯性系S做加速平动,加速度为
ax=-ω2Acos(ωt+β)(1)
其中A、ω及β为常数,称此参考系为简谐振动参考系,简称谐振系S′.在S′中建立坐标系O′-X,并设O′点相对惯性系S的运动学方程为
xO′=Acos(ωt+β)(2)
设一质量为m的谐振子,在惯性系S中的坐标为x,则在谐振系S′中的坐标为
X=x-xO′=x-Acos(ωt+β)(3)
在谐振系S′中,研究谐振子的运动,它受到的惯性力为
F*X=-max=mω2xO′(4)
在谐振系S′中,谐振子受到的合力(假定谐振子的圆频率也为ω)为
FX=Fx+F*X=-mω2x+mω2xO′=-mω2X(5)
取X为广义坐标,谐振子的拉格朗日函数为
L=T−V=12mX⋅2−12mω2X2L=Τ-V=12mX⋅2-12mω2X2(6)
广义动量为
P=∂L∂X⋅=mX⋅=mx˙+Am ωsin(ωt+β)= p+Amωsin(ωt+β) (7)Ρ=∂L∂X⋅=mX⋅=mx˙+Am ωsin(ωt+β)= p+Amωsin(ωt+β) (7)
谐振子的哈密顿函数为
H=(−L+PX⋅)X⋅→P=P22m+12mω2X2Η=(-L+ΡX⋅)X⋅→Ρ=Ρ22m+12mω2X2(8)
哈密顿算符为
Hˆ=Pˆ22m+12mω2Xˆ2Η^=Ρ^22m+12mω2X^2(9)
薛定谔方程为
iℏ∂∂t|n,t>=Hˆ|n,t>iℏ∂∂t|n,t>=Η^|n,t>(10)
定义谐振参考系S′中的湮没算符为
Aˆ=12mωℏ√(mωXˆ+iPˆ)A^=12mωℏ(mωX^+iΡ^)(11)
谐振子薛定谔方程的解为[2]
|n,t>=Aˆ+nn!√e−inωt|0,t>|n,t>=A^+nn!e-inωt|0,t>(12)
其中
|0,t>=e−i2ωt|0>|0,t>=e-i2ωt|0>(13)
n=0,1,2,3,…,|n,t>表示谐振子在谐振系S′中的基态(n=0)与激发态(n=1,2,3,…),并且
Aˆ|0,t>=0A^|0,t>=0(14)
2、谐振系S′中谐振子的基态在惯性系S中表现为相干态
取xˆx^、pˆp^及aˆa^分别表示惯性系S中的坐标、动量及湮没算符,则
aˆ=12mℏω√(mωxˆ+ipˆ)a^=12mℏω(mωx^+ip^)(15)
令
Ae−i(ωt+β)=2ℏmω−−−√z(t)Ae-i(ωt+β)=2ℏmωz(t)(16)
由式(3)、(7)及(16),得
Xˆ=xˆ−ℏ2mω−−−−√[z∗(t)+z(t)]X^=x^-ℏ2mω[z*(t)+z(t)](17)
Pˆ=pˆ−imωℏ2−−−−√[z∗(t)−z(t)]Ρ^=p^-imωℏ2[z*(t)-z(t)](18)
由式(11)、(17)及(18),得
Aˆ=aˆ−z(t)A^=a^-z(t)(19)
把式(19)代入式(12),得
|n,t>=1n!−−√e−inωt[aˆ+−z∗(t)]n|0,t>|n,t>=1n!e-inωt[a^+-z*(t)]n|0,t>(20)
把式(19)代入式(14),得
aˆ|0,t>=z(t)|0,t>a^|0,t>=z(t)|0,t>(21)
不妨令
|z(t)>≡|0,t>(22)
式(21)写为
aˆ|z(t)>=z(t)|z(t)>a^|z(t)>=z(t)|z(t)>(23)
在态|0,t>上,也可得[3]
x¯=Acos(ωt+β)x¯=Acos(ωt+β)(24)
ΔxΔp=ℏ2 (25) ΔxΔp=ℏ2 (25)
H¯¯¯=p2¯¯¯2m+12mω2x2¯¯¯¯=12ℏω+12mω2A2Η¯=p2¯2m+12mω2x2¯=12ℏω+12mω2A2(26)
由此可见,谐振子在谐振系S′中的基态(n=0),在惯性系S中显示为相干态[3].
另外,|n,t>为平移Fock态[4],在此态下
x¯=Acos(ωt+β)x¯=Acos(ωt+β)(27)
ΔxΔp=(n+12)ℏΔxΔp=(n+12)ℏ(28)
H¯¯¯=p2¯¯¯2m+12mω2x2¯¯¯¯=(n+12)ℏω+12mω2A2Η¯=p2¯2m+12mω2x2¯=(n+12)ℏω+12mω2A2(29)
也可验证
由此表明,谐振子在谐振系S′中的定态,在惯性系S中显示为平移Fock态,且具有完备性.
参考文献：
[1]张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2005:167-170.
[2]喀兴林.高等量子力学[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:118-120.
[3]曾谨言.量子力学(卷Ⅱ)[M].5版.北京:科学出版社,2014:69-76.
[4]范洪义,袁洪春.从相干态到压缩态[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2012:43-44.
李体俊,刘纯宝.谐振子在谐振系中的基态与惯性系中的相干态[J].大学物理,2020,39(08):1-2.
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2023-11-06我要评论
期刊名称：物理教学探讨
期刊人气：2202
主管单位：西南大学
主办单位：西南大学
出版地方：重庆
专业分类：教育
国际刊号：1003-6148
国内刊号：50-1061/G4
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创刊时间：1980年
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2020-08-12
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