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电子回旋共振有效质量在半导体中的量子理论分析

2020-08-12 303 上传者：管理员

摘要：回旋共振是半导体领域中非常重要的实验测量手段之一,它可以测量半导体材料导带底和价带顶附近的有效质量,进而确定能带极值点附近的能带结构.然而,在传统的固体物理和半导体物理教材中,在讨论回旋共振有效质量与有效质量的关系时,往往采用的是半经典物理图像,即电子在洛伦兹力作用下做回旋运动,通过解牛顿定律方程求出回旋频率进而确定回旋共振有效质量与有效质量之间的关系.本文提供了一种利用量子理论得到回旋共振有效质量的方法,并得到了与朗道能级相对应的定态波函数,适当情况下,可以据此对半导体的磁光性质进行估算.

关键词：
半导体
回旋共振
有效质量
磁光性质
量子理论
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晶体中的电子处于大量周期性排列的原子核所提供的势场中,再算上电子之间的相互作用,是一个复杂的多体系统,在量子力学基础上严格求解是无法做到的.为了从理论上得到晶体中电子的运动规律,就必须根据具体情况做相应的近似,只抓住主要的矛盾,得到适用具体问题的结论.有效质量近似[1,2,3,4,5],就是人们在研究半导体中电子的运动规律时发明的一个重要方法.多半个世纪以来,应用有效质量近似,人们在半导体理论中取得了巨大的成功,为半导体器件的设计和分析奠定了重要基础.

有效质量近似成立的前提是电子位于能带极值点附近,这时,可以将电子复杂的能量色散关系在极值点附近做小量展开,得到抛物线型能量色散关系.而一个不受任何影响、在空间自由运动的电子就拥有抛物线型能量色散关系.所以,此时晶格中的电子就近似于一个自由运动的电子,只不过“质量”发生了变化,这个等效的质量就定义为有效质量,它概括了复杂的晶格周期势对电子运动的影响.有效质量的引入大大简化了晶格中电子的理论描述,也深化了人们对晶格中电子运动行为的认识,使得人们可以不太费力地处理晶格电子在电磁场中的输运问题以及电子和光子、声子间的相互作用.

理论研究中,有效质量是作为一个已知参数来处理的[6,7],而这个参数往往通过实验测定.电子回旋共振是测量半导体中电子有效质量的常规和重要的实验手段[8].实验中,用一个恒定磁场将电子能带变为朗道能级,再测量体系对电磁波的吸收情况,根据吸收峰的频率和个数,就可以确定电子的有效质量以及能带对称性.

由于晶格具有特殊对称性,半导体中电子在导带底附近的等能面往往不是球面,因此,电子有效质量就需要用一个张量来表示.回旋共振实验中,当沿不同的方向施加磁场时,将得到不同频率的吸收峰,根据吸收峰频率,可以得到回旋共振有效质量,回旋共振有效质量依赖于磁场相对晶轴的方向.而要根据回旋共振有效质量得到电子有效质量张量,则必须弄清楚二者的关系.这个关系最早由W.Shockley在1953得出[9],运用的是经典方法,将电子视为经典粒子,在磁场中由于受洛伦兹力而做螺旋线运动,通过解牛顿第二定律方程,得到回旋共振有效质量与电子有效质量张量之间的关系.

在目前主流的固体物理及半导体物理教材中[1,3,4],作者要么运用上述经典方法得到回旋共振有效质量[3],要么只给出结果而不进行详细推导[1,4].而学习固体物理或半导体物理课程的学生几乎都已经学过量子力学课程,深知晶体中的电子应遵循量子力学规律,难免对此觉得疑惑.本文提供一种从量子理论出发,通过求解薛定谔方程推导回旋共振有效质量的方法,学生通过对比两种方法得到的结果,可以对晶体中电子的运动行为有更深入的认识.此外,该方法还能得到加磁场后电子朗道能级对应的定态波函数,适当情况下,可以据此对半导体的磁光性质进行估算.

1、理论推导

对于大多数半导体,导带底或价带顶附近电子的等能面可以近似为椭球面.若选择恰当的坐标系,电子有效质量张量只有三个对角量不为零.在没有外磁场时,对于导带底或价带顶附近的电子,其有效哈密顿量可以表示为

Hˆ=∑β12mβ(pˆβ−ℏk0β)2Η^=∑β12mβ(p^β-ℏk0β)2(1)

其中β=1,2,3,分别代表x、y、z3个互相正交的方向,注意这3个方向和能带极值点附近等能面的主轴方向重合,一般不同于惯用晶胞晶轴方向.pˆβ≡−iℏ∂∂βp^β≡-iℏ∂∂β为动量算符,k0β为能带极值点在动量空间的坐标分量,mβ为相应方向上的有效质量.

现沿任意方向加一个磁感应强度为B0的磁场:

B0=∑βBβeβB0=∑βBβeβ(2)

其中B1=B0sinθcosφ,B2=B0sinθsinφ,B3=B0cosθ.eβ为β方向上的单位矢量,θ、φ为磁场的方位角.

为了接下来计算方便,对坐标系进行旋转:(Oxyz→Ox′y′z′),旋转后的新坐标轴用带“′”的符号表示.让旋转后的坐标轴z′刚好沿着磁场方向,即使得B0=B0e′3.旋转前后坐标轴单位矢量的关系为:S[e1,e2,e3]T=[e′1,e′2,e′3]TS[e1,e2,e3]Τ=[e′1,e′2,e′3]Τ,其中S为联系着两套坐标系的正交变换矩阵.新坐标系Ox′y′z′可以通过将原坐标系进行3次旋转得到:先绕原来的z轴旋转角度φ,再绕新产生的y轴旋转θ,最后绕新的z轴旋转γ.即:S=Rz(γ)Ry(θ)Rz(φ),其中

令cθ=cosθ,sθ=sinθ,cφ=cosφ,sφ=sinφ,cγ=cosγ,sγ=sinγ,则

这样坐标与动量算符在两套坐标系之间的变换关系为x′α=∑βSαβxβ,pˆ´α=∑βSαβpˆβx′α=∑βSαβxβ,p^´α=∑βSαβp^β.为简化计算,对磁矢势取库伦规范:A=−B0x′2e′1=−B0x′2∑βS1βeβA=-B0x′2e′1=-B0x′2∑βS1βeβ,即矢势在原坐标系Oxyz中的表达式为Aβ=-B0x′2S1β.这样体系在加了磁场B0后的哈密顿量可以写为

Hˆ=∑β12mβ(pˆβ−ℏk0β+eAβ)2Η^=∑β12mβ(p^β-ℏk0β+eAβ)2(6)

将动量算符pˆβp^β变换到Ox′y′z′系,有

Hˆ=∑β12mβ(∑αS+βαpˆ´α−eB0S1βx′2−ℏk0β)2Η^=∑β12mβ(∑αSβα+p^´α-eB0S1βx′2-ℏk0β)2(7)

其中S+为S的厄米共轭矩阵.显然有[pˆ´1,Hˆ]=[pˆ´3,Hˆ]=0[p^´1,Η^]=[p^´3,Η^]=0,设pˆ´1p^´1和pˆ´3p^´3相应的好量子数为ħk′1和ħk′3,则系统波函数可表示为ψ(x′1,x′2,x′3)=ei(k′1x′1+k′3x′3)φ(x′2)ψ(x′1,x′2,x′3)=ei(k′1x′1+k′3x′3)φ(x′2),这样系统的本征方程可化为

Hˆψ(x′1,x′2,x′3)=ei(k′1x′1+k′3x′3)H∼φ(x′2)=Eei(k′1x′1+k′3x′3)φ(x′2)Η^ψ(x′1,x′2,x′3)=ei(k′1x′1+k′3x′3)Η∼φ(x′2)=Eei(k′1x′1+k′3x′3)φ(x′2)

即

H∼φ(x′2)=Eφ(x′2)Η∼φ(x′2)=Eφ(x′2)(8)

其中

H∼=∑β12mβ[S+β2(−iℏ∂∂x′2)+ S+β1ℏk′1+S+β3ℏk′3−eB0S1βx′2−ℏk0β]2Η∼=∑β12mβ[Sβ2+(-iℏ∂∂x′2)+ Sβ1+ℏk′1+Sβ3+ℏk′3-eB0S1βx′2-ℏk0β]2

即

H∼=−ℏ22∑βaβ[∂∂x′2−ibβ(x′2−dβ)]2Η∼=-ℏ22∑βaβ[∂∂x′2-ibβ(x′2-dβ)]2(9)

式中

aβ≡(S+β2)2mβ, bβ≡eB0S1βℏS+β2,aβ≡(Sβ2+)2mβ, bβ≡eB0S1βℏSβ2+,

dβ≡S+β1ℏk′1+S+β3ℏk′3−ℏk0βeB0S1βdβ≡Sβ1+ℏk′1+Sβ3+ℏk′3-ℏk0βeB0S1β

令φ(x′2)=eiA(x′2)u(x′2),其中

A(x′2)≡∑βaβbβ2∑βaβ⎛⎝x′2−∑βaβbβdβ2∑βaβbβ⎞⎠2A(x′2)≡∑βaβbβ2∑βaβ(x′2-∑βaβbβdβ2∑βaβbβ)2(10)

这样原本征方程(8)可化为

−ℏ22μd2udx′22+μ2ω20(x′2−x′20)2u=(E−E0)u-ℏ22μd2udx′22+μ2ω02(x′2-x′20)2u=(E-E0)u(11)

其中

μ≡(∑βaβ)−1ω20≡e2B20∑α>β(S1βS+α2−S1αS+β2)2mαmβx′20≡ℏ2ω20∑α>βaαaβ(bα−bβ)(bαdα−bβdβ)μ≡(∑βaβ)-1ω02≡e2B02∑α>β(S1βSα2+-S1αSβ2+)2mαmβx′20≡ℏ2ω02∑α>βaαaβ(bα-bβ)(bαdα-bβdβ)

E0≡ℏ4μ4ω20∑α>α′β>β′aαaα′aβaβ′[(bαdα−bα′dα′)(bβ−bβ′)−E0≡ℏ4μ4ω02∑α>α′β>β′aαaα′aβaβ′[(bαdα-bα′dα′)(bβ-bβ′)-

(bβdβ−bβ′dβ′)(bα−bα′)]2(bβdβ-bβ′dβ′)(bα-bα′)]2

容易验证,E0与k′3无关,故记为E0(k′3).

可以得到回旋共振有效质量为

1(m∗)2≡ω20e2B20=∑α>β(S1βS+α2−S1αS+β2)2mαmβ1(m*)2≡ω02e2B02=∑α>β(S1βSα2+-S1αSβ2+)2mαmβ

将S矩阵元代入上式可得

1(m*)2=cos2θm1m2+sin2θsin2φm1m3+sin2θcos2φm2m31(m*)2=cos2θm1m2+sin2θsin2φm1m3+sin2θcos2φm2m3(12)

该式与利用半经典近似图像得到的结果完全相同[3,10].除此之外,还能得到半经典近似无法得到的能量本征值与相应的波函数.能量本征值为

Enk′3=(n+12)ℏω0+E0(k′3), n=0,1,2,⋯Enk′3=(n+12)ℏω0+E0(k′3), n=0,1,2,⋯

与能量本征值相对应的波函数为

ψnk′1k′3(x′1,x′2,x′3)=Nnexp[i(k′1x′1+k′3x′3+A(x′2))]⋅e−12α2(x′2−x′20)2Hn[ξ(x′2−x′20)](13)ψnk′1k′3(x′1,x′2,x′3)=Νnexp[i(k′1x′1+k′3x′3+A(x′2))]⋅e-12α2(x′2-x′20)2Ηn[ξ(x′2-x′20)](13)

其中Hn[ξ(x′2−x′20)]Ηn[ξ(x′2-x′20)]为厄米特多项式,

ξ≡μω0/ℏ−−−−−√, Nn=(ξ2nn!π√)1/2ξ≡μω0/ℏ, Νn=(ξ2nn!π)1/2

得到了上述能量本征值及相应的波函数的解析表达式,对于费米能级附近能带间耦合比较弱的半导体(每个能带近似用单带模型描述),可据此计算出带间跃迁矩阵元,从而可对其磁光吸收率等光学性质进行分析和估算[5].相比用复杂的数值方法计算出更精确的能带和波函数再计算光学性质,此方法优势在于能获得解析结果和节省计算量.不过通常半导体能带间耦合普遍存在,特别是窄禁带半导体带间耦合往往较显著,并且在高掺杂情况下,能带电子不能近似处理为球形等能面,因此,这里讨论的用单带球形等能面模型分析磁光性质并不适用于窄禁带半导体、极高温或高掺杂的情况.

2、总结

有效质量是半导体物理中的重要概念,在半导体器件的理论分析和应用实践中作为关键参数使用.实验测量有效质量的常规方法是回旋共振,但要想从实验测得的回旋共振有效质量得到有效质量,必须搞清楚回旋共振有效质量和有效质量的关系.

本文从量子力学出发,通过求解薛定谔方程,得到了回旋共振有效质量和有效质量的关系.此计算一方面可以打消学生对教材中用经典牛顿力学描述晶格电子运动的疑虑,另一方面,也解出了磁场中能带极值点附近电子的波函数,对于带间耦合较弱的半导体,可以用于分析估算低温低掺杂时的磁光跃迁问题.

另外,用量子理论计算有效质量的结果和教材中用经典方法得到的结果相同,说明对于半导体中能带极值点附近的电子或空穴,它们的运动行为用半经典理论来描述是比较合适的.

参考文献：

[1]黄昆,韩汝珊.固体物理学[M].北京:高等教育出版社,1988.

[2]叶良修.半导体物理学[M].北京:高等教育出版社,2017.

[3]刘恩科,朱秉升,罗晋生.半导体物理学[M].7版.北京:电子工业出版社,2008.

[4]C.基泰尔.固体物理导论[M].8版.项金钟,吴兴惠,译.北京:化学工业出版社,2005.

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马遥,庞蜜.半导体中电子回旋共振有效质量的量子理论推导[J].大学物理,2020,39(07):29-31+44.

基金:国家自然科学基金(11604261,11704308)资助.