一、引言

高等数学是大学里面的一门基础课程,在几乎所有的理科专业,如物理、经济学、计算机领域、以及工程设计、化学、生物学等均有涉及,应用非常广泛。作者自工作以来,主讲的大多为数学专业课程,近几年开始讲授高等数学之类的公共数学课程。通过几年来的教学实践与总结,作者感觉到像高等数学之类的公共数学课程,与数学类专业课程相比,在课程特点以及教学教法上都还是有着很大区别的。因此教师在教学中对此要有清醒的认识,并做好充分的准备。不然,会在教学中走一些弯路,影响教学的效果。

高等数学的教学,无论是从内容的侧重点,还是授课对象的知识基础来说,与一般的数学专业基础课程都有所不同,而且是有很大的不同。在教学中,我们就要针对这些特点,采取合适的教学方法,以做到因材施教,从而达到提高教学效果的目的。下面,我们从几个方面对此做一较为详细的探讨,以此来与大家交流、讨论。如有不足之处,还请各位专家、读者给予批评指正。

二、课程特点

从课程的特点来看,高等数学侧重于在理解概念的基础上,对知识的灵活应用。至于理论的推导,则不做过多的要求。因此,在教学过程中要抓住教材的这些内容作为重点来讲解。在分配每章或每节的课时数时,也要考虑到这方面的因素。高等数学教学的一个显著特点就是内容多,但课时紧。因此,在制定教学安排时,把握好这些特点是很重要的。

对于数学类的专业课程,如点集拓扑、微分几何、实变函数等,它们的特点之一就是具有高度的抽象性、概括性。在这些课程中,不但许多的概念是如此,而且里面的定理和性质的证明都具有相当的难度。这样的问题很多,而具体的实例由于时间和篇幅的原因,涉及的则很少。因此学生在学习的时候往往会感到比较枯燥,乏味。在文献[1]中,我们对此也做了一定的探讨,并给出了一些个人的看法和建议。在此不再赘述。对于高等数学来说,它的难点没有那么多,重点在于相关的数学计算和应用。但是,对于里面的一些主要的概念、结论,如偏导数、全微分、重积分等等,也是要作为重点来处理的,要做到讲解透彻、分析到位、层次分明。虽然说重点是相关的计算与应用,但这些主要的概念还是要着重讲一下的,只有这些概念及它们的背景讲清楚了,学生学起来才感兴趣、有劲头。我们说,学以致用。不管是数学也好,其他的学科也好,它们之所以存在的根本原因,就在于能对我们的生产生活起到积极的作用,能为我们人类社会的发展服务。数学当然也不例外。我们在教材中学到的数学知识,很多都起源于我们的生产实践,并且也会对我们人类的生产生活起到积极的推动作用。数学中的每一个概念,都可能联系着一些实际的问题。如,一元函数的导数反映的是变量的变化率问题(运动物体的即时速度,切线的斜率等等);多元函数的偏导数反映的是函数对某一变量的变化率问题(这其实也来源于一些实际的问题。如商品的价格与成本、供应量、市场的需求量等都有关系。在有些时候,我们会考虑这样的问题,即在成本和供应量不变的情况下,价格对需求量的变化率,或者在价格和需求量不变的情况下,价格对供应量的变化率,这就涉及到偏导数);函数在一点处的微分或者全微分,反映的是在这一点处函数增量的主要部分(可以用来进行近似计算);非负连续函数在有限闭区间上的定积分反映的是其所围曲边梯形的面积等等(更多的可参阅文献[2],[3]以及其他一些高等数学教材、微积分教材等)。了解了这些问题的背景,或者说来龙去脉,学生对这些概念才能有一个较为深刻的认识和理解,学起来也更有兴趣。在文献[4]中,作者也探讨了关于如何在高等数学教学中激发学生学习兴趣的问题,有兴趣的读者可以查阅。

三、学情特点

高等数学的教学,不但要把握它的课程特点,还要注意到它授课对象的特点。

高等数学的授课对象,一般为非数学专业的学生。这些学生的一个显著特点就是数学基础不是太好,对数学有一种天然的恐惧感和畏难情绪。提到数学,想到的就是一个难字。同样的问题,对于数学专业的学生也许很简单,但对于其它专业的学生来说,可能就变成了一个难点。如重积分的计算,在不同情形,有不同的计算公式。直角坐标系下如何计算,极坐标系下如何计算,都有相应的公式,计算的时候直接代入即可。如果是数学专业的学生,这是不需要花太多时间去说的。但对于非数学专业的学生,这就是要讲的重点。要通过多种不同类型的例题来进行讲解、演示,通过习题来进行训练和强化。不然,学生很难掌握好。因此,初次接触高等数学教学的老师一定要注意这一点。

四、课时特点

关于这点,我们想拿出来单独说一下。

对于高等数学来说,大学中的许多专业都会开设这样的课程。但不同的专业,对该课程的要求是不同的。相应地,安排的课时也不尽相同,有64课时的,有56课时的,还有的是70多课时的等等,不一而足。课时的多少,也决定了教学内容的差异。因此,教师需要根据所教专业,以及安排的课时数对课程内容作一定的取舍。如果这一点不能做好,做到位,就会给教学带来不好的影响,甚至会出现一些问题。

举个简单的例子来说明一下。一节课如果需要2个学时能够讲完,一章有8节课,那这一章讲完就需要16个学时。但如果这一章只安排了8个学时的话,这时候就需要对教材内容做出一定的取舍了。显然,如果用8个课时讲这8节的话,每节基本上只能分到1个课时。而需要2个课时才能讲完的内容,如果压缩到1个课时,对学生来说接受起来是有很大难度的。长此以往,学生学的比较费力,进而慢慢对这门课就失去了兴趣。所以这是不可取的。这就要求老师根据专业特点和专业需求,选取主要内容、重点内容来讲,不必要的就不要花太多时间去讲了。要做到主次分明,重点突出,这样才能取得良好的教学效果。

五、一些心得体会

最后,我们说几点教学中的心得体会,与大家分享。

第一,讲课的时候,有时我们可以把内容作适当的调整,这样一方面可以节省课时,把时间用在主要内容的讲解上。另一方面也可以把内容有机地融合在一起,起到较好的效果。如在讲解多元函数偏导数时,讲完定义之后,我们通常要举一些具体的实例,让学生来看一下或感受一下怎么来求这个偏导数。那么这些例子如何设计?这其实也是有一些技巧的。首先,我们可以按照课本上的例题来讲,这是很自然的想法。但有时候,限于篇幅等原因,教材上往往只能给出部分例题。这样,老师就需要从课外参考书中或其它地方寻找一些相关的题目,再根据自己教学的需要来设计出一组习题(当然这组习题要紧扣教材,还要层次分明)。通过这组习题的讲解与训练,让学生熟练掌握偏导数求导这一知识点。

我们知道,课程的内容前后都是有关联的。前面的知识是为了后面的作铺垫,而后面的内容一般也与前面的有着千丝万缕的联系。偏导数也不例外。后面在学习多元函数全微分、复合函数微分法、隐函数微分时,都会涉及到求偏导数这样的问题(参阅文献[2]以及其它相关教材)。因此,偏导数不但是本章一个重要的概念,而且是多元函数微积分的一个基础,是要重点讲解、重点训练的一个知识点。偏导数掌握好了,后面的内容学起来就容易多了。既然这样,我们就想,为什么不可以把这些求偏导数的问题提前到前面,放在偏导数定义这一节来讲呢?这样,一方面可以通过这些例题让学生熟悉并牢固掌握偏导数的求解,另一方面,在后面的教学中,就不用再花太多时间在这些问题上了。而且,前面讲过了,后面再遇到,学生自然就不会感到太陌生,接受起来就更容易一些。另外,通过这种方式也把教材内容有机地融合在了一起。一举多得,何乐而不为呢?

另外,在讲解的时候,我们可以考虑分层次进行。对于求偏导数,可先从一般较简单的二元函数入手,让学生掌握求偏导数的基本方法。在此基础上,再进一步,讲解一些较简单的复合函数的偏导数。最后,在学生已经较好地掌握了偏导数的求法之后,可以给出一些较复杂的函数(可以是二次复合函数、三元函数等等),求它们的偏导数,以达到巩固、加深的目的。下面是我们设计的一组习题,请各位专家、读者多予指导。

第一组:(1)-(3),是由基本初等函数(参阅文献[2],第12页)经过有限次四则运算得到的一些较为简单的二元初等函数(参阅文献[3],第52-53页)。第二组:(4)-(6),是一些较为简单的二元复合函数。由于相当一部分初等函数都涉及到函数的复合,因此把复合函数求偏导的方法单独拿出来讲解一下是很有必要的。第三组:(7)-(9),是一些较复杂的多元函数,目的是借此加深巩固。在实际教学中,可根据课时的安排做适当的调整。如学时不允许,可每一组讲一到两个,剩下的让学生作为练习。

第三,要注重概念的讲解与实际问题的结合。对于许多读者来说,数学之所以显得很抽象、枯燥,往往是由于只从形式上去看待,从理论的角度进行分析、推演,而忽视了与实际问题的结合。不与实际问题相结合,就很难弄清楚问题的来龙去脉,不知道它是用来做什么的,有什么用。这样,心里就总是有个结,有疑问。这是我们要特别注意的一点。作为老师,我们要替学生把这个结解开,这样学生学起来才更有劲头。实际上,很多概念都是有一定的实际背景的,与生产生活有着密切的联系。比如,在讲多元函数微分学和积分学时,一个根本性的概念就是多元函数。我们为什么要研究多元函数?这就是一个不能回避的问题。只有把它弄清楚了,后面的一系列问题才有了源头。

我们知道,函数是反应量与量之间关系的一个概念。比如,一天中的温度是随时间变化而变化的,在不同的时间,温度就可能不同。因此,我们可以把温度看作时间的函数。再比如,物体做自由落体运动时,其速度v是随时间t的变化而变化的。一般地,当初速度为时,它们之间存在这样的函数关系:v=gt,其中g为重力加速度。类似地,物体下落的高度h也与时间t之间有着一定的关系,即。像上述这些问题,它们有一个共同点,即其中一个量是随另一个量的变化而变化的。但也有另外的一些情形。如市场上商品的价格,它与商品的成本、市场的需求量、产品的供应量等都有关系。还有,电流产生的热量与电压、电流强度、时间等都有关系。像商品的价格、电流产生的热量等等这样的量,它们不仅仅依赖于某一个量,而是与2个、3个甚至更多的量都有关系。要描述这些量的变化规律,仅用以前学过的一元函数是不够的,这就需要引入新的概念,即多元函数。通过这些具体例子,学生能够真切体会到多元函数的由来及对其研究的必要性。这对接下来的学习是很有益的。

另外,高等数学中有些概念确实是比较复杂,概括性比较强的。对于初学者来说,如果没有老师的讲解,或者讲解不得法,理解起来就会比较困难。对坐标的曲线积分就是如此,它是一个相当抽象、不易于理解的概念。我们先来看一下这个概念(参阅文献[3]及下图1)。

定义设L是平面内起点为xOy,终点为B的一条具有有限长度的光滑的有向曲线弧,P(x,y)是定义在L上的一个有界函数。

1. 从起点A到终点B依次任意插入n-1个分点,把曲线L分成n个有向子弧段。记有向弦在轴上的投影为;

2. 在每个小弧段上任取一点;

3. 作积分和,令,其中表示小弧段的长度。如果极限存在并且与L的分割以及的选取无关,则称函数在有向曲线L上对坐标x的曲线积分存在,称此极限值为函数在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作。

类似地,可定义函数在有向曲线L上对坐标y的曲线积分。

图1对坐标的曲线积分

看到这样的概念时,我们通常会感到一头雾水,摸不着头脑。对学生来说,更是不容易了。那么该如何讲呢?这就要回到问题的根源。我们知道,这样的概念实际上来源于物理上的变力做功等问题。像这样的概念,包括之前学过的定积分、重积分等,它们实际上都是在对一些实际问题的分析、处理中归纳总结得来的。对于这些概念,如果不和具体的问题相结合,只看概念本身的话,是非常难以理解的。因此,老师在讲解的时候,要切实做到与具体问题相结合,在对具体问题的分析、解决中顺其自然的引出该概念。这样,学生接受起来就会容易得多了,而且会听得津津有味,兴趣倍增。因此,在讲解的时候可以把重点放在变力做功这样的问题上。下面,我们就来具体分析一下。

设平面上的一个物体,在力的作用下从位置A运动到位置B。如果为常力(大小、方向均固定),且物体沿直线运动,则所做的功可以按公式计算。但如果为变力,且物体沿一条曲线从A运动到B,那此时又该如何计算力所做的功呢?

假设,且和在L上连续。我们可以用与定义定积分类似的分割、近似、求和、取极限的方法来计算所做的功。

首先,在L上任意插入n-1个分点,把曲线L分成n个有向子弧段(可参阅图1)。考虑其中一个小弧段。如果这个小弧段足够小的话,则可以把它近似看作一个小直线段,同时作用在这个弧段上的力看作常力。这样,可以近似求出力在这个小弧段上所做的功。

记有向弦在x轴上的投影为,在y轴上的投影为。则。在上任取一点。由于和在L上连续,因此在小弧段其余点处的力与该点处的力近似相同,故可用该点处的力近似代替上面每一点处的力。从而在小弧段上,力所做的功近似等于,即

如果每一个小弧段都足够小的话,我们在每一个这样的小弧段上都可以近似计算出力所做的功,把它们加起来,就得到力在整个有向曲线L上做功的近似值。因此,第二步就是要作一个和式,它近似等于力在L上所做的功W,即

要求出W的精确值,我们需要让每一个小弧段都尽可能地小(或者说足够小),这样就更接近于力在该小弧段上所做的功。小弧段越小,就越接近。当小弧段长度越来越小,越来越小无限接近于时,就无限接近于力在这个小弧段上做的功。如果每一个小弧段长度都越来越小,越来越小无限接近于,则和式就无限接近于力在L上所做的功。因此,下一步要做的就是取极限,让这些小弧段的长度越来越小,趋向于。实际上,可以令,它表示n个小弧段中弧长最大的那个小弧段的长度。如果,即最大的那个小弧段的长度趋向于,那么每一个小弧段的长度也都趋向于,此时和式就无限趋向于力在L上所做的功。因此我们得到力在L上所做的功

通过对比,我们可以发现,对坐标的曲线积分定义中的那几点实际上就是从变力做功问题的求解步骤中归纳得来的。把上面的求解过程和思路进行总结,就可以很自然地引出对坐标的曲线积分的定义。学生听起来,也就不会再有太多的突兀感,不会有那么多抵触情绪了。

以上是作者在实际教学中得到的一些心得体会。限于作者水平,如有不足之处敬请谅解。

参考文献：

[1]姜德烁.点集拓扑课堂教学的几点体会[J].教育教学论坛,2013(42):134-135.

[2]同济大学数学系.高等数学(上)[M].北京:高等教育出版社,2014.

[3]王中兴,刘新和.高等数学(下)[M].上海:复旦大学出版社,2016.

[4]秀峰.高等数学教学思考与探索[J].黑龙江科学,2019,(17):10.

姜德烁.高等数学教学的几点思考与体会[J].教育现代化,2020,7(49):101-105.