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磁荷概念基础上的稳恒电流磁场理论的理解分析

2020-08-12 196 上传者：管理员

摘要：本文从磁荷概念出发,利用磁荷与电荷之间的相似性,由静电学知识直接能给出空间磁场和磁势的表达式.再引入磁壳的概念,利用磁壳的一个简单性质和与电流回路的等效性,得到稳恒电流磁场中几乎所有理论公式.这种以磁荷角度讨论磁学的路线,是深刻理解磁现象的重要途径.

关键词：
安培定律
毕奥-萨伐尔定律
物理教学
磁壳
磁荷
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当前电磁学、电动力学有关磁学部分的教学都是以电流元为主线,先直接给出电流元在空间产生磁场的毕奥-萨伐尔定律形式,然后给出磁场中电流元受力的安培定律表达式.而与毕奥-萨伐尔定律等价的磁场高斯定理和环路定理,在电磁学中只给出似真性的论证,在电动力学中,有了梯度、散度以及旋度等矢量场概念,并能进行基本矢量微积分关系运算后,才能由毕奥-萨伐尔表达式给出理论上的证明.同时,以电流元为中心的静磁学,因出现矢量的叉乘,对初学者缺乏直观性,使理论看上去很复杂,感觉磁现象与先前学的静电学根本就是两个差异很大的东西.事实上,磁学的发展完全不同于目前教科书施行的思维线路,是从磁和电现象的天然相似性出发,引入“磁荷”的概念,通过研究磁荷间的相互作用发展而来的.本文以“磁荷”为基本出发点,利用“磁壳”(南北磁荷构成的很薄的壳层)一个很容易证明的性质,加上已经很熟悉的“电荷”的知识,来导出磁学全部定律和定理.

1、磁荷

1.1 库伦的工作

在西方除最早详细介绍磁现象1600年吉尔伯特的《论磁体》外,最早定量研究磁现象的工作可能是库伦有关磁学的扭秤实验.在库伦之前,人们已经知道任何的磁石都有两个“极”(poles),和厚度比,磁棒越长,两极也越靠近棒的端点,如此以来,一根无限细的磁针将不存在侧边的磁性,磁极将位于针的端点,这就是理想化的磁体.在地磁的作用下,磁体趋于北方向的那一极称为北磁极,它的大小称为正磁荷,反之为南磁极和负磁荷.约1784年,几乎和他发现电荷的平方反比律的同一时期,库伦实验利用细长的磁针,证实了相距r的两磁荷之间的相互作用也是按照平方反比律[1,2],即

F=km1m2r2F=km1m2r2(1)

m1、m2是两磁荷大小,北磁荷取正,南磁荷取负,k是比例系数.库伦也估计出他的实验精度在4%以内.

1.2 高斯的工作

高斯用一个巧妙的间接方法在大约1833年对磁的平方反比律进行了实验验证[3].首先,高斯假定两磁极之间作用按照距离的p次幂减小,即F∝1/rp,如图1,磁体NS两磁极强度为m,中心取在0,很容易计算离中心相同距离d的P点的磁场强度.在端线P点(图1(a)),磁场强度:

H1=m(d−l)p−m(d+l)p=pMdp+1Η1=m(d-l)p-m(d+l)p=pΜdp+1(2)

在侧边的P点(图1(b)),磁场强度

H2=2msinθrp=2mrplr=Mdp+1Η2=2msinθrp=2mrplr=Μdp+1(3)

其中M=2ml,上面的最后一步都用了l<<d条件.比较式(2)和(3)可以发现两处不同位置的P点磁场强度相差p倍.实验上在两处分别放置细线悬置的小磁摆针,通过测量偏转角或摆动周期,比较二者可以得到p值.高斯就是用这种方法测得p=2,其误差在1/5000内.这样高斯在一个更高精度的层次上,实验证实了磁荷作用的平方反比律.

图1高斯实验比较了一根细磁棒附近相同距离的P点的

磁场大小.

2、磁壳

在用磁荷的观点理解磁学全部知识,关键的概念就是“磁壳”.均匀磁壳有个非常重要简单的性质以及和电流回路等价性,使得很容易把磁荷作用规律直接推广到电流元.

2.1 磁壳的定义

磁壳是一块极化方向处处与表面垂直的磁极化薄片,它可以看作是由磁偶极子并排而成的特殊薄面.磁壳的强度Φ定义为单位面积上的磁偶极矩.如果N极层上单位面积具有正的磁荷σ,S极层单位面积有负磁荷-σ.正负磁荷距离或磁壳厚度为t,则磁壳强度Φ=σt.如果磁壳强度Φ处处相同,我们说磁壳是均匀的.

2.2 磁壳的性质

2.1.1 磁偶极子

正负m的磁荷相距2l,和电荷类似,当所关心场点位置远大于两磁荷距离,即r>>l时,我们说它们构成一个磁偶极子(图2),表征其强度的磁偶极矩定义为M=2ml.式由(1)磁荷的库伦定律得,原点处磁荷m在真空r处产生的磁场强度

图2磁偶极子M在任意处(r,θ)产生的磁场H和磁势V

V=kmrV=kmr(5)

在国际单位制中,如果磁荷m取C·m/s为单位,式(4)和(5)中的k=1/4π,为了讨论更加简洁,先忽略这个因子.于是,偶极子在A处产生的的磁势

VA=mr−lcosθ−mr+lcosθ=Mcosθr2VA=mr-lcosθ-mr+lcosθ=Μcosθr2(6)

在极坐标下,取Hr,Hθ分别为A点沿径向和切向的磁场分量.磁场强度是磁势梯度的负值[4],由极坐标下磁势梯度的形式,得

Hr=−∂VA∂r=2Mcosθr3Ηr=-∂VA∂r=2Μcosθr3(7)

Hθ=−1r∂VA∂θ=Msinθr3Ηθ=-1r∂VA∂θ=Μsinθr3(8)

2.1.2 均匀磁壳的磁势

如图3(a),取强度Φ的磁壳上面元ds,磁壳厚度t,面元法线也就是磁极化方向n,由于ds是小量,面元上的磁矩大小是dM=Φds,由式(6),面元在r处P点处引起磁势[3,5]dV=Φcosαdsr2[3,5]dV=Φcosαdsr2,而ds对P张成的立体角dΩ=cosαdsr2dΩ=cosαdsr2,有

dV=ΦdΩ(9)

整个CD面在P点产生的磁势

V=ΦΩ(10)

图3均匀磁壳在空间任意一点产生的磁势

其中Ω为CD面对P张成的立体角.对于磁壳内侧(S极一侧)的P′点,立体角是负的.此式证明了均匀磁壳的一个重要的性质:磁壳在空间一点产生的磁势只和磁壳对该点张成的立体角有关.该立体角只决定于壳的边界:如果壳接近封闭的曲面,对面外部一点(图3(b)中B点)成的立体角将非常小,该点磁势将趋于零,而对面内部一点(图3(b)中A点)成的立体角将非常接近4π,磁势4πΦ,这说明任意封闭曲面内各点的磁势是相等的,也就是磁场强度为零.

3、电流回路和磁壳的等效性

安培实验上证明了一个小的电流圈在远处产生的磁场和一个磁偶极子产生的磁场完全相同.借助电流元的磁场公式可以严格证明任意形状的小的电流环路产生的磁场完全具有式(7)、(8)的形式.说明微电流环路与磁偶极子等效.在此基础上,仅凭逻辑推理就可证明任意大小和形状的电流回路,在空间任意一点产生的磁场,等同于以回路为边界的均匀磁壳产生的磁场,电流强度i和磁壳强度Φ满足[6,7]:i=Φ.

图4电流i的载流回路与强度Φ=i的磁壳在空间任一点

产生相同的磁场

ABCD是通有电流i的任意闭合回路,将此回路包围的区域分割成无限小的网格,那么整个电流回路就可以被看作由这些无数多,每个都流有电流i的网格回路构成.很容易看出,任何两个相邻的两网格的共同边界(如EF)上的电流大小相等,方向相反而恰好相消,只有最外边界上的电流,由于不存在相邻网格而得以保留.这样整体地看,没有相消的网格电流就和原ABCD回路的电流完全重合.ABCD回路所包围的面积可以是任意曲面,只要网格分割的面积ds相等,每个网格单元就有相同的磁矩ids,单位面积上的磁矩总和就相等,根据微电流环路与磁偶极子的等效性,上述网格就等价于一块均匀极化的磁壳曲面.ids的微电流环路等于磁矩为ml的磁偶极子,由等面积ds厚度l形成的网格具有磁荷面密度σ=mdsσ=mds,则磁壳强度Φ=σl=i.

4、由等效性推导电流磁场的相关公式

4.1 安培环路定律

考虑一块强度为Φ的磁壳(图5).前面知道,任意一点的磁势等于磁壳面对该点张成的立体角乘以Φ,而任意两点的磁势差等于物理上移动单位正磁荷磁场所做的功,也就是磁场的曲线积分.假如图5中沿虚线A、B、C、D、E、F、G各点对磁壳形成的立体角分别为2π、π、π/2、…、-2π,则AG两点磁势差[8]:VA-VG=∫GAAGH·dl=ΦΩA-ΦΩG.

如果A、G是非常靠近面的两点,理想磁壳的厚度为零,磁壳靠A点的是n极面,G点靠近的是s极面,那么ΩA=2π,ΩG=-2π,于是有:VA-VG=∫GAAGH·dl=4πΦ.把磁壳换为电流回路,上式用i替代Φ,就得安培环路定理:

∮H·dl=4πi(11)

图5一块磁壳周围的磁势

4.2 毕奥-萨伐尔定律

取张角为dα,形状为阴影部分,强度为Φ的磁壳,纸面外侧为n磁极面,各尺度如图6所标记,现求它在P点的磁场强度.取半径x处dx宽度的面元,面元具有的磁矩dM=Φxdxdα,根据式(8),考虑到θ=π/2,P点磁场强度[5]:dH=Φxdxdαx3=Φdαdxx2.dΗ=Φxdxdαx3=Φdαdxx2.

如果磁壳CD边扩展到无限远,则磁壳产生的总场:dH=Φdα∫∞rdxx2=Φdαr=Φr2dαr3dΗ=Φdα∫r∞dxx2=Φdαr=Φr2dαr3,方向沿纸面向里.现在r2dα是ΔABP面积的2倍,该面积大小(连带方向)可以表示为dl×r,那么dH=Φdl×rr3dΗ=Φdl×rr3.强度为Φ的磁壳和i的环电流等价,得

dH=idl×rr3dΗ=idl×rr3(12)

此式给出以ABCD为边界,强度i的电流在P点产生的磁场.从推导看出,CD趋于无限远时积分趋于零,而从对称性考量,DA和BC边电流也不能够在P点产生磁场,此式即电流元idl磁场的毕奥-萨伐尔定律.

图6毕奥-萨伐尔定律的证明

4.3 安培定律

利用已经导出电流元的磁场式(12),在r处放置m的正磁荷,则磁荷受力:

mdH=idl×(mrr3)mdΗ=idl×(mrr3)(13)

而磁荷在-r处产生的磁场H′=−mrr3Η′=-mrr3,电流元受力同磁荷受力等值反向,有电流元受力:

dF=idl×H′(14)

即安培定律.

4.4 互感系数相等的证明

4.4.1 磁壳与磁荷作用能量(势能)

如图3(a),强度Φ的磁壳面元ds在P点产生磁势dV=ΦcosαdsOP2dV=ΦcosαdsΟΡ2,它等于P点处放置单位正磁荷的势能dE.然而,单位正磁荷在面元ds处产生的磁场力F=1OP2F=1ΟΡ2,方向PP′−→−ΡΡ′→,则该磁力在ds上力的通量dΨ=F⋅ds=−cosαdsOP2dΨ=F⋅ds=-cosαdsΟΡ2为一标量.这样势能可以写作dE=-ΦdΨ,该式适用于任意磁壳面元.对整个磁壳,总的磁能:-∑ΦdΨ=-Φ∑dΨ=-Φ∬F·ds=-ΦΨ.说明均匀磁壳在磁场中的势能等于所受力的通量乘以磁壳的强度.

两磁壳相互作用能:设Φ和Φ′为两磁壳强度,由Φ′在Φ上产生的力通量应该正比于Φ′记为MΦ′,M为比例常数,它取决于两磁壳相对位置和几何尺寸.处于Φ′的磁场中的Φ具有磁势能-ΦMΦ′.同理,处于Φ的磁场中的磁壳Φ′具有磁势能-Φ′M′Φ,两者必须相等

ΦMΦ′=Φ′M′Φ,或M=M′(15)

把上面Φ和Φ′两磁壳作用能还原为I和I′两电流回路的作用能MII′,即证明了线圈之间的两互感系数相等.

4.5 磁场的高斯定理

磁场的高斯定理可以借助电场的高斯定理很容易获得,只要承认以任何手段都不能获得孤立的磁荷,这样任意闭合曲面内磁荷代数和永为零,即:∯H·dS=0,真空中磁感应强度矢量B和H只差一个常数,对于B有

∯B·dS=0(16)

此为磁场的高斯定理.

从式(4)和(5)开始忽略了1/4π的因子,表达式(4)至(12)所有关于H和磁势V的公式中乘上这一因子就是熟悉的国际单位制下的磁学核心公式.考虑到B=μ0H,式(12)乘以μ0/4π为熟知的关于B的毕奥-萨伐尔定律.由于磁学中磁作用力和磁相互作用势能是根据B定义的,也就是说国际单位制中,mB和M·B对应牛顿和焦耳等基本单位,而H和B有不同的量纲,所以,象式(13)和(14)以及4.4节磁作用能量的讨论中涉及的公式都是由H给出的,只要乘以μ0就换算到国际单位制中.

5、结论

基于磁荷概念,再利用磁壳性质的磁学理论教学是概念简单,思路清晰的方法.用最少的假设再借助很简单的数学,较容易地得到几乎全部核心理论公式.对电与磁现象的对称性得以充分展示.由于是按照了历史发展的顺序,能更清晰了解了当时物理学家对磁现象思维的线路.从“电流元”直接出发可能是获取工程技术专业所需磁学知识的最快速途径,然而,如果能够再结合以“磁荷”角度对磁的理解,对学生同时对教师必会极大地提升对电磁学本质的理解.

参考文献：

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[3]FewkesJH,YarwoodJ.ElectricityandmagnetismVol.1,[M].London:UniversityTutorialPressLtd,1956:337-339,341-344

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杨晓峰,吴璟芃,魏天杰.基于磁荷概念的稳恒电流磁场理论的理解[J].大学物理,2020,39(07):16-19+24.