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探讨线性代数教学与MATLAB软件的融合

2020-03-27 403 上传者：管理员

摘要：在大学教学阶段线性代数课程是一门基础性课程，MATLAB软件是目前国际上应用较普遍的一种科学与工程计算软件，二者的有机结合不仅使计算效率得到了提高，而且计算步骤及计算过程也变得更加简化，学生的学习兴趣也有了明显提高。本文基于作者的实践经验，探讨了在线性代数教学中MATLAB的应用细节。

关键词：
Matlab
教学
矩阵与行列式
线性代数
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线性代数作为大学教育的一门重要基础课，是学生入校后最早学习的课程之一，关系到学生后继专业课程的学习，是非常重要的一门学科。在计算机迅猛发展的今天，将计算机软件与线性代数教学相结合，已成为教学改革的热点。而计算机软件的不断升级换代为大学数学的教学提供了优越的条件，MATLAB软件作为众多软件的佼佼者，目前已经成为国际科学界最具影响力、最有活力的科学计算软件。应用MATLAB软件辅助线性代数的教学，将会在很大程度上降低教与学的难度，缩小数学理论与数学应用之间的距离，并能很好的培养学生的数学应用能力和创新能力，提高学生学习数学的兴趣[1]。本文就MATLAB在线性代数教学中的应用进行了探讨。

1、矩阵与行列式

矩阵与行列式是线性代数中两个最基本的内容，线性代数的后续内容都是以矩阵与行列式为基础展开的。在MATLAB中矩阵的输入方法是：将矩阵的所有元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。例如输入命令：

行列式的结果是一个数，只有行和列相等的矩阵才存在行列式。行列式的输入方法为：det（A），其中det为行列式英文单词determinant的缩写，A为行和列相等的矩阵，输出的结果是一个数。例如输入命令：

2、求向量组的极大无关组及将矩阵化为最简形[2]

判断向量组的线性相关性及求向量组的极大无关组在MATLAB中均可以很容易的实现，当我们将矩阵的每一列看成一个向量，根据线性代数的知识[3]，当向量组构成的矩阵的秩<向量的个数，则向量组是线性相关的，当矩阵的秩=向量的个数时，则向量组是线性无关的，故我们可以由矩阵的秩与向量个数的关系判断出向量组的线性相关与线性无关性。求矩阵A的秩R（A）的命令为：rank（A）。

因为向量组构成的矩阵A的秩R（A）=2<向量的个数4，故向量组是线性相关的。

而求向量组的极大无关组可通过命令reef（A）进行。命令reef（A）可以将矩阵A化为最简形矩阵。进一步可判断出向量组的极大无关组及将极大无关组外的向量用极大无关组线性表示出来。如上例，再进一步求向量组（α1，2，α3，α4）的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示。在MATLAB窗口输入命令如下：

通过将矩阵A化为最简形矩阵以后，根据线性代数知识[3]，容易看出向量组α1，α2即是向量组的一个极大无关组，α3，α4可以用α1，α2线性表示，系数即是A化为最简形以后α3，α4对应的系数，即：α3=0.5α1-1.5α2，α4=0.25α3+1.25α4。

3、线性方程组的求解[2]

线性方程组的求解是线性代数的一个重要内容，对于齐次线性方程组AX=0，其解有两种情况[3]：（1）R（A）=n（未知量的个数），方程组只有零解；（2）R（A）

系数矩阵A的秩R（A）=2<5（未知量个数），方程有非零解，再求方程组的基础解系。

而对于非齐次线性方程组AX=b（b屹0），由线性代数的知识可知[3]，其解有三种情况：（1）R（A）

通过增广矩阵的最简形B可以看出，R（A）=R（A，b）=2

4、求矩阵的特征值与特征向量

在线性代数中求方阵A的特征值与特征向量是一个难点，计算量很大，学生不易掌握且容易算错。而在MAT原LAB中求方阵A的特征值与特征向量则非常简单，其命令为：[V，D]=eig（A）。其中V、D均为与矩阵A同阶的矩阵，矩阵D的主对角线元素为A的特征值，矩阵V的列为矩阵A的单位特征向量，它与D中的特征值一一对应。例如，求下面矩阵A的特征值与特征向量。

从矩阵D可以看出，矩阵A有三个不同的特征值5、-1、0，特征值5对应的单位特征向量为矩阵V的第一列（0.6396，0.6396，0.4264）T，特征值-1对应的单位特征向量为矩阵V的第二列（0.7071，-0.7071，0）T，特征值0对应的单位特征向量为矩阵V的第三列（-0.5774，-0.5774，0.5774）T。

5、结束语

线性代数中的计算与化简步骤多，过程繁琐，学生容易出错。而利用MATLAB软件计算线性代数中的许多问题，命令简洁、操作简单，大大简化了计算过程，可以直接得到答案。因此将MATLAB软件与线性代数教学相结合，能够大大提高学生学习的积极性和能动性，调动学生的学习兴趣。但是，需要指出的是，教师教学时还是要以课本知识为主，MATLAB软件只是起到一个辅助的作用，教学要把握好这个度。

参考文献:

[1]平怡.MATLAB在大学数学教学中的应用研究[J].湖北广播电视大学学报,2008,12(11):135-136.

[2]杨威,高淑萍.线性代数计算与应用指导(MATLAB版)[M].西安:西安电子科技大学出版社,2013.

[3]同济大学数学系.线性代数第五版[M].北京:高等教育出版社,2010.

詹涌强.MATLAB软件在线性代数教学中的应用[J].科技创新与应用,2019(34):156-157.