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关于概率论与数理统计课程的探索

2020-07-09 304 上传者：管理员

摘要：概率论与数理统计是一门通过演绎和归纳的方法研究随机现象及其规律性的一门学科。根据该课程的特点,本文从概念理解、案例教学、教学方法和教学内容几个方面进行探讨。在具体教学过程中，应结合背景知识和前沿动态，理论与实际问题相结合，进行案例教学激发学生兴趣，培养学生运用分析和解决问题能力。

关键词：
教学内容
教学方法
数理统计
概率论与数理统计
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概率论与数理统计是一门通过演绎和归纳的方法研究随机现象及其规律性的一门学科。其理论和方法已被广泛应用于金融、经济、军事、生物、大数据等诸多领域中，是理科、工科、经济管理类专业必修的一门数学基础课程。尤其是随着计算机的普及和大数据时代的到来，概率论和数理统计是进行数据分析和数据处理的核心基础课程。随机现象在自然界的各个方面无处不在，概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论和方法与数学其他分支相互交叉，相互渗透。由于该学科与生活实践和科学试验有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科(如控制论、信息论、可靠性理论、数据科学与大数据、人工智能等)的基础，因此学好这一学科是十分重要的[1]。

1、对比相似概念，加深概念理解

概率论与数理统计课程的主要内容分两部分：前半部分概率论侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法[2]。包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定理和中心极限定理等。后半部分以概率论为基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括参数估计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。

与其他基础数学课程相比，概率论与数理统计具有以下特点：理论知识抽象，概念和公式较多，研究对象不确定等，使得学生学习该课程时感觉难度较大。学生对基本概念的理解是学好一门课程的基础，不同概念之间的相关联系和区别是掌握概念的核心。学生学习概率论与数理统计时易混的概念有：零概率事件与不可能事件；随机事件的相互独立与互不相容；相交事件的概率、无条件概率与条件概率；离散型随机变量的概率与连续性随机变量的概率；参数的区间估计与参数在某个区间的假设检验等。

2、引入背景知识，实行案例教学

国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）明确指出，支持学生参与科学研究，强化实践教学环节。通过对实际问题的解决，不仅能够培养学生分析实际问题和解决实际问题的能力，加深学生对所学理论知识的理解和掌握，更能让学生明白学有所用，抽象的理论知识来源于实际问题，能对实际问题做出更准确的理解和解释[3]。

概率的概念起源于欧洲中世纪后的骰子赌博。骰子赌博有以下特点：1）可重复独立试验。2）每次试验结果在试验之前不确定。3）所有结果在试验之前是确定的。

结合概率论发展背景，引入“赌本分配问题”。1654年，职业赌徒德梅雷向法国数学家帕斯卡（1623-1662）提出一个使他苦恼已久的赌本分配问题：甲、乙两赌徒赌技相当，即每局甲、乙胜的机会均等，各出赌注150法郎，共300法郎赌本。他们约定，谁先赢3局则得到全部300法郎的赌本。当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故中断赌博，那么这300法郎如何分配才算公平？

帕斯卡和法国数学家费马（1601-1665）在一系列信件中讨论了这个问题。我们容易得到两个结果：1）由于甲、乙两人赌技相同，就平均分配，甲、乙两人各拿150法郎；2）由于在已经完成的3局中，甲赢了2局，乙赢了1局，应该按照2:1分配，甲应该得200法郎，而乙得100法郎。

上述这两种分配方法哪个合理呢？第一种方法忽视了完成的3局中，甲多赢一局的情况。第二种虽然考虑了这种情况，但是没有考虑比赛继续下去的情形，似乎也不合理。如果考虑在当前3局的基础上，赌局进行下去，至多再有2局即可分出胜负，这2局中前后获胜的结果有4种：甲甲、甲乙、乙甲和乙乙。前3种都是甲获胜，只有最后一种是乙获胜。甲乙获胜的比例是3:1，故赌注应该按照3:1的比例分配，则甲得225法郎，乙得75法郎。

这个赌本分配问题在当时曾引起热烈的讨论。在解决这个问题的过程中孕育了概率论一些重要的基本概念，比如期望，概率加法定理，乘法定理等出现在荷兰数学家惠更斯1967年发表的第一本概率论著作《论赌博中的计算》中。

在上述问题中，我们从概率论的角度再进行分析，由于赌局进行，至多2局肯定结束。若第4局甲胜（概率为1/2），则甲得300法郎；若乙胜，进行第5局，第5局甲胜（这两局这种情况发生的概率为1/2*1/2=1/4），则甲得300法郎。若设甲最终所得赌本为X，则P(X=300)=1/2+1/4=3/4。那么X的分布律为P(X=0)=1/4,P(X=300)=3/4。则甲的期望为1/4×0+3/4×300=225法郎。这种方法既考虑了已赌结果，也考虑了继续赌下去的“期望”，跟前面的两种方法相比更合理。这就是概率论中数学期望这个名称的由来。

3、结合实际问题，实行趣味教学

在自然界和人类的日常生活中，随机现象非常普遍。概率论就是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性作出一种客观的科学判断，并作出定量的描述和分析，比较这些可能性的大小。概率论的特点是：理论性强、抽象概念多、相似概念易混淆[4]。为了学生能更好地理解和掌握这些概念，非常有必要具体例子，尤其是与实际问题相关联的例子进行举例。比如讲解古典概型的时候，可以选取中国福利彩票双色球中一等奖的概率进行讲解。

双色球彩票投注规则为：首先分红色球号码区和蓝色球号码区，每注投注由7个数字的号码球组成，其中6个红色球号码和1个蓝色球号码，红色球号码从数字1-33中不放回选择，蓝色球号码从数字1～16中选择，问1次投注中的一等奖的概率是多少？由于红色号码球是无顺序不放回选取，从1～33个号码球选取6个红色球的概率是，而选取1个蓝色号码球的概率是，则中的一等奖的概率为

计算一等奖中奖概率以后，也可以告诉学生二等奖至六等奖的规则，让学生自己计算其他奖项的中奖概率。通过中奖概率的计算，不仅可以让学生掌握古典概型，更可以让学生明白彩票的中奖概率，如果学生去购买彩票，可以避免盲目跟风购买、更可以避免依据以往中奖结果去推算以后中奖概率。每次开奖都是独立事件，因此每次中奖概率是一样的，这是等可能概型。

4、关注前沿动态，启发学生兴趣

兴趣是最好的老师。所谓兴起则思通，指的就是学习兴趣能有效地强化学习动机，发挥主体的主观能动性，调动学习的积极性。要使概率论与数理统计得到学生的重视，达到理想的教学效果，培养学生的学习兴趣非常关键。但是该课程涉及概念繁杂、定义突兀、理论抽象、知识点之间连贯性差等特点。如果按部就班，引入概念，然后理论推导，学生容易产生畏惧心理，产生厌学情绪，且不知学有何用。我们不妨结合自己专业特长，将自己科研中涉及的概率论相关知识进行介绍，让学生明白概率论是实际用途，激发学生的学习兴趣。比如：在图像和视频去噪中，图像和视频噪声都是随机产生的，通常是服从均匀分布或正态（高斯）分布。因此，去除噪声时，针对不同的噪声类型，首先要假设噪声服从那种分布，才能进一步构建去噪模型，达到理想的去噪效果。另比如现在火热的深度学习模型，需要大量的数据样本进行预训练，才能实现理想的任务。深度模型之所以能够真实地揭示数据样本的分布特性，这跟概率论中的大数定理和中心极限定理是分不开的。数据量越大，样本数据越能准确刻画数据的真实分布结构。而且，数据量越大，数据的分布结构越接近正态分布。因此，几乎所有的深度学习模型都是在正态分布的假设前提下，进行理论推导和模型构建。

5、结语

概率论与数理统计是理工科专业的一门重要的数学基础课程。自然界、社会和思维领域的具体事件都具有随机性，随着科技的发展，各行各业中对问题的阐述都有量化的要求，尤其是大数据科学的兴起，如何从大量的数据中寻找规律，概率论与数理统计是不可或缺的基础内容。根据概率论与数理统计课程的特点,本文从对比相似概念、引入案例教学、增加课堂趣味和激发学生学习兴趣四个方面，探讨了教学方法和教学内容。

参考文献：

[1]张慧,高桂花,高艳侠.关于概率论与数理统计课程的教学改革与探索[J].曲阜师范大学学报,2015,41(1):48-52.

[2]吴翊,李永乐.应用数理统计[M].长沙:国防科技大学出版社,1995.

[3]王芬.案例教学法在概率论与数理统计教学中的应用[J].高教学刊,2016,20:74-75.

[4]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

杜世强,马明.概率论与数理统计课程教学与研究[J].甘肃科技,2019,35(23):47-48+57.

基金:西北民族大学2017年教改项目(2016XJJG-03).

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