《义务教育数学课程标准(预审稿)》(下文简称“预审稿”)运用“表1义务教育阶段数学核心素养的主要表现”罗列了15项具体数学“核心素养”要素，其中的第六项要素是“空间观念”。养成空间观念核心素养的课程资源主要应该是集中于“图形与几何”教学内容上，这是以空间观念的外在表达的始基素材的点、线、面、角这些元素为基础的。为了揭示“空间观念”核心素养要素的本质要义，首先探讨“空间”的本质内涵、形成空间观念的心理机制及其所涵蕴的育人价值。

一、空间与空间观念的本质内涵及其心理萌生过程的育人价值

《现代汉语词典》(第5版)将空间界定为，“物质存在的一种客观形式，由长度、宽度、高度表现出来，是物质存在的广延性和伸张性的表现”。关于空间的这种字典界定，正是作为义务教育阶段数学教育内容的应有内涵。从数学课程所设置的“图形与几何”教育内容而言，理解儿童(学生)如何形成空间概念的心理机制有利于帮助学生萌生与养成作为课程目标的“空间观念”的数学核心素养。为此，有必要聆听发生认识论的鼻祖、日内瓦学派领军人物皮亚杰的教诲，获得启发。

皮亚杰与英海尔德在他们的名著《儿童心理学》一书中指出，“儿童在开始时并不存在含有以物体和事件作为内容(如容器含存在着它的内容一样)的单纯空间次序，而是存在着几种完全以儿童自己身体为中心的杂凑的空间——如口部的、触觉的、视觉的、听觉的和体态的空间。这些不同的杂凑空间形式随后逐渐协调起来(例如口部的空间与触觉—动觉的空间通过活动得到协调),导致并且萌生出与形成了永久客体的图式，到此时，儿童才能产生对物体的形态的改变(物理变化)同位置的改变(组成空间运动的改变)之间作出根本性的区别。”[1]

皮亚杰证实了随着永久客体图式的出现，儿童可以定位永久客体在空间中的位置，儿童开始寻找他所感兴趣的相关永久客体，在这种寻找过程中，形成了“位移”与“位移群”(如视线跟随着永久客体的运动，就会产生视线的位移，众多的这样的位移就组构成了位移群；儿童搬动具体物体同样可以形成位移及位移群),在儿童形成空间观念的重要作用中，最后帮助儿童组成了实际空间的基本结构，当然，例如这种视线运动所构成的位移，总是离不开时间的场域，因为，空间—时间的联结是不可摆脱的。因此，这种关于永久客体的位置与空间位移的组织，总是和物体的时间序列的组成结合在一起的。这就是儿童萌生空间的心理机制，空间观念的萌生与定型，离不开这种心理机制的基础。

就这种意义而言，数学教师使用“图形与几何”这种教学内容资源，学生在萌生空间观念时，其基础就不能离开永久客体、客体的位移及其所组成位移群体系的帮助。由于永久客体的位移及其形成的位移群是与主体(肢体，可触及或不可触及的，例如视线等)的行为活动不可分的，由此可以认识到，发生知识认识的行为活动在形成数学知识中所具有的重要性。传统的经验主义者认为，知识只是感知现实所得到的感觉的一种摹写；而传统的理智(理性)主义者认为，观念、概念、判断与论证的形式不可能由感觉提供，而理智的内容确实来源于感觉。其实，经验主义者与理智主义者各执发生知识认识的这种对立中的一端，好像经验与理智这两方面不可调和。

其实不然，例如皮亚杰就是一个调和主义者。他认为主体的操作行为活动将外在信息(实物或事件)因素与主体意识结构中的相应图式结合起来，使信息要素纳入主体已经存有的结构图式(可以通过同化或顺应两种途径)中来，从而发生了知识认识。基于此，他论述道：“知识既不能看作在主体内部结构中预先注定了的——它们起因于有效的和不断的建构；也不能看作是在客体的预先存在着的特性中所决定了，因为客体只是通过这些内部结构中才被认识的，并且这些结构还通过把它们结合到更大的范围之中(即使仅仅把它们放在一个可能性的系统之内)而使它们丰富起来；知识正是通过将客体的结构与整理这种客体结构的心理上的范畴式框架联结起来的行为活动而产生了的。”[2]

皮亚杰的这种强调操作信息因素的活动行为是发生知识认识的先决条件，是与马克思主义的实践第一的观点不谋而合的。人类主体从出生时期就存在于包围着自己的空间中，万物也无不被置于这同一个空间中，只是幼年期儿童的主客体未分化，没有意识到他与自己所生存于其中的空间之间的关系，即他的肉体只是与存在空间中其他事体一样的一个客体而已。当建立象征性的信号系统以后，主体就从直接操作具体实物(或图形)轮廓线、表面、侧棱线等过渡到表象中的操作，再到画出相应的(经由抽象)图形中表示自己操作过活动过程。从操作中，能够抽象出组成空间的要素——点、线、面、角等的始基(始基犹如向量坐标表示中的基向量一样),这就为逐步地由空间观念过渡到了具体的几何图形奠定了现实的基础，从而基于此，可以形成几何知识，特别是这种图形中所建立的因果性结论，最终为建立逻辑及演绎性证明提供了基础性素材。

“图形与几何”的育人价值正在如此。阿兰在《教育漫话》中说，要少一些科学，但要一门好的科学，而且自始至终贯穿着最严密证明的科学。几何学的美就在它有那存在于一切事物中清晰而合乎理性的某种东西。因此，那球形、棱柱形就给我们以自然的教训。当然，阿兰关于几何学的这种特别强调严格演绎证明科学的育人价值，但是这种育人价值的实现，必须要经由孩童时形成的空间观念这一个过渡性步骤。空间观念是几何(空间)图形所形成的因果性，继而形成谨严的逻辑论证的“先行”(皮亚杰语，其内涵指的是一个知识或观念构成另一个知识或观念的前提与基础),就是说，几何图形的因果性与基于公理体系论证的严谨性都是来源于儿童时期的空间观念。这正是具体体现于几何与图形之上的空间观念的育人价值之所在。

二、养成空间观念核心素养的途径与要求

为了研究如何帮助学生养成空间观念的数学核心素养，那么，必须要回答的问题是：何为空间观念?空间观念体现于哪些内容之中?如何帮助学生养成空间观念?美国新泽西州的数学课程框架将空间观念这个概念描述为，“空间观念是将对于图形和空间的直观感觉内化为意识结构中的观念性内容。它涉及传统的几何概念，例如对于几何图形的识别、想象、表征、变换的能力；也包含其他的一些非正式的方式去看待二维和三维的空间，例如折纸、变换、镶嵌、对称、投影等。”[3]

“预审稿”将空间观念的内涵界定为，“空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的感悟。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。”

由此可以认识到，空间观念的内涵在于对于人们生存于其中的空间的感觉或感悟。这种感觉或感悟所生成的内容内化为意识结构当中，并以观念的形式存在。据上述关于空间观念的界定及其说明，可以将发生空间观念认识划分为几个层次：

(一) 从操作具体物件或图形中形成图形的表象与想象

众所周知，想象只有在表象基础上才能进行，表象是指过去感知的事物不直接作用于主体大脑时，在大脑中再现出来的形象，表象思维不限于当前的空间和正在进行中的动作，它把智慧活动应用于再现过去感知过的事物。想象则是在表象的基础上经由概括、加工形成的反映几何形态的空间观念。如此，可以促使学生获得“能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的关系”。这些都是空间观念的项目与内容所在。

(二) 对于相对较为复杂图形的分拆与组装

能从复杂的图形中分拆出其组成(直至始基性的)元素，并能分析基本元素之间的关系，然后按相关必要的原则组装成基本图形，从这种分拆与组成图形的探索活动行为中，可以认识到组成复杂图形及其组成的基本元素之间的相互依存关系，为萌生与定型空间观念添砖加瓦。这种分拆与组装对应着相关的思维活动，因为它需要形象思维与抽象思维的介入，因此一定是逻辑思维的“先行”。

在分拆与组装这种图形及其元素的相关转化过程中，启发学生认识到图形的某些要素或基本图形变换中的不变性(或守恒性),这些不变性特点，在具体操作中的发现形成了经验活动，作为图形观念，通过反身抽象的作用，内化为意识结构中存在，为后来形成借助于几何图形直观性所规定了的逻辑性奠定了基础。如此，可以促使学生获得“空间观念有助于理解现实生活空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础”。这些都是空间观念的项目与内容所在。

(三) 对于实物及其形象(图形)的描述与思考

能描述物体的位置关系或形态特点，进而发展成为通过表象地进行描述；能描述实物或表示实物的几何图形的运动与变化；能使用图形作为象征性的符号表达相应的问题。如此，萌生并定型了空间观念，这种空间观念可以转化为，能够利用几何图形直观思考具有某些特点的问题，这种思考方式无须严格演绎逻辑的合情推理。

例如，不画出图形，要求学生思考与回答这样的问题：一张长方形的纸片(如一张A4纸),用直线形式裁去其中的一个角，还剩下几个角?为了获得正确答案，不少学生需要利用实物(一张具体的长方形纸片)的辅助思考与作出回答，教师必须要经由自己的努力，帮助学生去除这种实物的辅助，启发学生转化为利用表象进行思考，并且利用描述这种表象回答学生自己思考好了的问题。如此，才会有利于学生养成空间观念核心素养，即“感知并描述图形的运动和变化规律”。这也都是空间观念的项目与内容所在。

(四) 做出感知过的实物模型或画出感知过的图形

这是一种将内化为意识结构中的图形表象外化的实践活动，无论是做出某种实物的模型或画出某个感知过的图形，都必须要经由意识结构的过滤，即采用记忆实物或图形中的重点要素(点、线、面、角),将这些要素在意识结构中加工与组合(一种心理上的操作),再将这种心理上的操作外化(必然要经由空间观念的作用)为肢体的动作行为来实现。很明显，通过这样的途径，可以帮助学生养成空间观念。

形成空间观念的这四个层次，构成了小学生萌生与定型空间观念的主要途径与步骤。这种途径与步骤为数学教师在教学设计及其课堂实施中，帮助学生养成空间观念数学核心素养提供了物质性基础。那么，数学教师在自己的教学实践中，如何具体地帮助学生养成空间观念的数学核心素养呢?

三、帮助学生养成空间观念数学核心素养的教学实践策略

在帮助学生养成空间观念核心素养的教学设计及其课堂实施中，数学教师还是应该谨记皮亚杰的教诲，“操作实物及其象征性符号——图形的行动内化为思想(空间观念——译者注)需要一定的时间，因为用思维去再现一个行动的开展及其结果比只在物质世界中进行这个行动要困难得多。例如，单独在思想里旋转一个正方形，每转九十度就得在内心再现颜色不同的各个顶点与边这些要素的重新定位，这和实际上旋转这个正方形实物而观察其结果是完全不同的。因此，在行动内化以前必须事前在一个新的水平上重新组织这些行动，而这样的重新组织也许要和这个行动本身过去的改组一样经过同样的几个阶段，但还要落后一大段时间。”[4]

在上述养成空间观念核心素养的四项主要途径中，就义务教育小学阶段的学生而言，其中的操作(实物或表象)特别重要。这四项主要途径中的每一项的实现都是比较困难的，需要教师仔细理解学生可能使用的真实心理活动过程，选择从简单实物或图形逐渐到比较复杂的实物或图形，要低起点、小台阶，循循善诱、步步为营；还需要特别注意学生之间心理的个性差异，一点一滴地帮助学生，引导学生萌生或定型空间观念，养成空间观念的核心素养。从长期的数学教学实践中，笔者体悟到了帮助学生养成空间观念数学核心素养的几项策略。

(一) 注重生活经验的再现

生活中实物的现实原型构成了学生养成空间观念的丰富资源，学生生活于自己所处的空间中，对于实物之间的位置关系及其表达是组成学生生活的一个重要部分，教师必须充分利用这一资源，启发学生自主探究，促使学生逐步认识到图形的形状、组成以及图形及其构成要素之间的位置关系，逐步总结出某个图形的不变量，从而形成某些特点与性质；通过从不同视点观察实物、辨别方位，进行分析与表达，从中萌生与定型空间观念，养成核心素养。

(二) 观察与操作

即使是低年级学生也会在自己过去有限时间的生活里，积累起了一定的空间图形方面的经验，这些经验内化为观察新图形的图式，以其中的某个必要的图式为出发点，通过观察与操作行为活动，把握新图形的特点，从而增强意识结构中的空间观念的量，同时优化意识结构中已经存有的空间观念的结构，从而引起已经存有空间观念的质改变。因此，对于现实与虚拟(象征性符号或意识中表象)空间中的实物或图形进行观察、操作，是养成空间观念的最为重要的手段。

(三) 想象与构造

空间观念是将具体实物或可以直观观察的图形转化为表象以观念形式存储于意识结构中，这就需要从具体实物形态中想象出几何图形形状，反过来，也需要从几何图形形状中想象出它所代表的具体实物。想象还可以造形，或通过造形的途径构建出实物，这是因为想象可以表示几何图形的具体要素(如点、线、面、角等)组合成新的图形。因此，对于图像要素的想象与构造，是发展学生的空间观念的一条重要途径。

总之，由于帮助学生养成空间观念数学核心素养确实不是一件容易的事情，这就需要引起数学教师的格外注意，需要讲究相应的教学策略。教师应该细心地分析学生萌生与定型空间观念的心理过程及其个性差异，充分利用学生在过去生活中已经积累起来关于空间认识的知识与经验，有意识地选择教学资源，促进学生通过分拆、组装等操作处理实物或图形的行为活动，设法启发学生形成表象，从而内化到意识结构中去。这些策略及其组合是促进学生养成空间观念的必经之路。

四、结束语

义务教育小学阶段的“空间观念”数学核心素养的养成与提升的主要承担者是具体实物与表示实物及其构成要素的图形。为了帮助学生养成“空间观念”数学核心素养，数学教师需要将整个义务教育阶段的九年时间作为一个整体加以结构性思考：首先，合理而充分地利用学生的生活经验，空间观念来源生活，是对于生活中具体实物形状及其要素的抽象；其次，充分重视对于事物，尤其是表示实物的图形符号及其要素的操作，通过操作获得图形及其要素之间的位置关系以及奠基的逻辑关系；再次，充分利用实物的原型启发，诱导学生对于图形及其要素进行想象和构造，形成新的几何图形。这些都是帮助学生养成空间观念核心素养的必经途径。对此，数学教师必须思之再思，慎之又慎。

参考文献:

[1]皮亚杰,英海尔德.儿童心理学[M].吴福元,译.北京:商务印书馆,1980:14.

[2]皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪钿,译.北京:商务印书馆,1981:16.

[4]皮亚杰.教育科学与儿童心理学[M].傅统先,译.北京:文化教育出版社,1981:32-33.

文章来源：张昆.养成空间观念数学核心素养新视角[J].中小学教师培训,2021(12):47-50.