由于初、高中阶段的数学知识具有高度抽象性和严谨性，需要给学生足够的时间进行深度思考和交流反思。但在当前激烈的竞争环境下，仍存在大量赶进度的现象。目前中学数学课堂教学为了追求升学率，主要采用讲练的教学模式，学生缺乏活动的机会和时间。

通过众多学者的研究，我国中学数学课堂教学还存在以下一些问题：一是重结果，轻过程。教师总是急功近利，想把所有考点快速教授给学生，因而课堂上总是滔滔不绝，不给学生自己探索发现的机会，不给学生自主学习、独立思考的时间和空间。二是重解答，轻反思。部分教师只在乎学生知识是否掌握，题目是否做完，很少给学生时间去反思和深度思考。三是重教学思路设计，轻学生思维诊断。有些教师缺乏教学的灵活性，一味按照自己设定的教学思路走，不给学生机会表达自己的想法，对于学生的一些创造性的思路、方法不能在课堂上及时发现与肯定，也不能在班上进行交流与讨论，对于学生的一些错误想法也不能及时加以引导反思。

2018年1月教育部颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，要以学生为本，落实立德树人根本任务。在这种以学生为主体的教学理念指导之下，教师应当更加关注学生的主动学习和有意义学习的参与度。因此，本文提出了“三给”的教学策略，即给学生内容、给学生时间、给学生机会，以此来促进学生思维的发展和数学学科核心素养的达成。

一、给学生内容，利用问题驱动思维

普通高中数学课程标准指出，通过高中数学课程的学习，学生不仅要掌握知识技能，还要具备数学学科核心素养，“数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力和情感、态度与价值观的综合体现”[1]。即数学教学是数学思维的教学，数学教育还应当将注意力放在学生数学思维的培养上。而问题是数学的心脏，数学教学往往也是从问题驱动开始的[2]。因此，在数学教学中应当适当给予学生内容任务，利用问题来驱动学生思维的发展。

给学生适当内容任务，学生自主提出或教师设计出一系列问题串，让学生进行思考研究，也就是让学生有独立思考的空间，让学生通过查阅资料或者利用已有知识自主探究、讨论交流、动手操作等一系列活动，在解决问题过程中提高思维能力。如通过课前导学案任务、课中质疑辨析或问题变式探究和课后调查探究任务，可以让学生独立思考，大胆尝试，逐步提高思维能力。

案例1:“函数的概念”的导学案设计和课后探究任务。

学生在初中的时候就学习过函数，高中再次学习，概念的表述更加严谨和抽象。设计导学案能够让学生复习初中所学的概念，同时引导学生预习高中所要学的新定义，为新课的学习做好准备。学生在完成导学案的过程中能够学会自主学习，在解决问题过程中深入思考，为新课的探究埋下伏笔。

首先，利用三个生活实例引导学生复习初中函数的概念；其次，让学生自行预习教材引出高中的函数概念，通过定义的表述思考相应问题；最后，让学生学习完新课以后思考初中和高中所学的函数概念之间有什么差别和联系。

问题1.在生活中看到过这样的例子：(1)傍晚，太阳在西方徐徐落下；(2)随着春天的到来，天气越来越暖和；(3)我国国内生产总值逐年上涨。上述三个例子展现了一个事实，世界是时刻变化的，那变化的本质是什么呢?

从数学的角度看，可以发现在这些变化的现象中每一个变化现象都存在____变量，并且变量之间都有一个依赖关系。此时，回顾复习初中函数的定义：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量(independentvariable),y是x的函数(function)。如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值。”[3]

问题2.预习教材后学生填空，并回答下列问题。

“一般地，设A、B是非空数集，如果对于集合A中的____数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有____的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作____。其中，x叫作____,x的取值范围____叫作函数的();叫作函数值，函数值的集合____叫作函数的()。”[4]

课中辨析探究：函数f:A→B应满足怎样的对应关系?集合B和函数值域间存在怎样的关系?一个函数的构成要素有几个部分?函数相等必须满足哪几个条件?

课后探究任务：查阅资料，了解函数发展史。思考初中和高中所学的函数概念之间有什么差别和联系，为什么高中要再次学习函数的概念?

通过课前和课后任务，不仅让学生收获了教材要求的知识，还丰富了课外知识。更重要的是学生的学习参与度提高了，利用问题驱动了学生思维的发展。

二、给学生时间，保证学生深度思考

给学生时间，就是保证学生能够亲身经历观察操作、提出猜想(问题)、实验并论证猜想(建立模型)、得出结论(解决问题)这样一个完整的思维过程。只有当学生自己经历了完整的思维过程，才能对所学知识有一个更深入的认识。如此也有利于培养学生良好的思维习惯，掌握行之有效的思维方法。在平常的课堂教学中，不少教师急于求成，生怕学生不会，往往包办代替直接讲解，不善于等待、期待学生的生成，有时在促进学生思维发现的紧要处、关键处由教师代替，而把后面思维含量不高的演算化简过程让学生去独立完成。因此，课堂上要给学生深度思考的时间，更多地暴露和展示学生的真实想法，而不只是某一个学生或者做得好的学生，这样课堂上才会有学生之间的碰撞，也才会有学生的精彩呈现，课堂上学生的精彩才是老师的精彩。特别是在数学活动课教学中，更要保证学生的活动时间，避免教师操作代替学生活动。

案例2:在七年级“探究规律”的活动课教学中，教师在课堂上抛出如下“摆火柴棍游戏”问题，然后给学生时间，充分让学生们通过个人独立思考和小组合作学习后，学生们发现了四种不同的方法。

问题：如图1所示，1个正方形需要几根火柴棍2个正方形呢3个正方形呢?n个正方形呢?

解法1:把第一个正方形左边竖放的第一根火柴棍去掉，则共为3n+1(根)。

解法2:把第一个正方形去掉，则3(n-1)+4=3n+1(根)。

解法3:把每一个正方形都看成4根火柴棍组成的正方形，则4n-(n-1)=3n+1(根)。

解法4:先看上下横放的火柴棍有2n根，再看左右竖放的火柴棍有n+1根，最后相加得2n+(n+1)=3n+1(根)。

本节课的问题对于高中学生来讲，其实就是等差数列的通项公式的直接运用即可解决，但是对还没有学过多少数学知识与方法的初一学生来讲，他们能得出上述四种不同的解决方法却非易事。这每种方法背后都蕴含着数学思想的光芒，解法1、解法2都体现了特殊与一般和数形结合的思想，解法3体现了部分与整体和割补思想，解法4着重体现了分类与整合的思想，这些都充分闪现了学生的思维火花和创新精神。

这节课采用学生自主探究学习的方式，给学生时间探索，让学生深度思考，不但让学生获得了解决问题的多种方法，而且从中体会感悟到数学思想的力量，还习得了从简单到复杂、从特殊到一般和“整—分―合”的基本策略，获得了一定的数学活动经验。本堂课如果不给学生时间，让学生独立探究和展示自己的想法，直接由教师讲解的话，最多就是教师把自己想到的一两种方法讲给学生，学生就不会有更多更精彩的方法出现了，这从某种意义上来讲就是扼杀了学生的创造性思维，把学生的思维限制在教师的预设中，不敢越雷池半步。

三、给学生机会，交流反思思维过程

给学生机会，就是鼓励学生勇于提问、敢于质疑、善于表达，在交流中培养创造性，在表达中诊断思维偏差，在反思中获得进步。在学生中不乏有一些富有创造性的学生，他们想法较多，常常能够提出一些新问题。如果此时能够给他们提供一个平台和机会，让他们用数学语言去解释问题、表达观点，那么对于他们自身的发展和班集体创造性的培养都非常有利。此外，班上还有部分学生，常常会出现认为自己理解了，做题时却漏洞百出的现象，这是因为他们内在的思维错误没有被教师发现并及时纠正。因此，让学生有机会把探究发现的成果充分展示出来，完全暴露出学生全面或片面的思维过程与结果，在此基础上，教师、学生与同伴不断碰撞启发、交流与反思，获得对问题的更深刻、更具有统摄性的认识。

日常教学中，除了重视问题解决的过程与结果外，更应该重视问题解决后的反思与交流。交流与反思主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展[1]。这样会使学生站得更高认识原问题本身，让学生在原问题的基础上看得更远。目前，数学实际教学中更是忽视了问题解决后的交流与反思，不少数学教师让学生一个问题接着一个问题不歇气地解决，没有给时间让学生停下来进行交流与反思的机会，学生疲于奔命，出现课上听得懂，课后做不来的现象。为了克服这一教学弊端，我们应该精选有价值、有意义的数学问题，以“一”当“十”。必须在重视过程与结果的同时，更应重视问题解决之后的交流与反思。实践与理论都已证明，真实的数学思维过程是数学教学中最具有教育意义的成分[6]。同样，认真做好问题解决之后的交流与反思是数学教学中最具有教育价值的成分，交流与反思比问题解决的过程与结果更为重要。

课堂上给学生机会让他们对自己的数学学习过程进行交流与反思，这对于加深他们对数学知识的理解掌握、提高数学学科核心素养水平具有十分重要的意义。首先，交流与反思这一教学环节可以使学生在交流中质疑问难，大胆求证，善于思考，严谨求实，不断提高对数学知识的认识水平；同时学生们通过相互交流，相互帮助，求同存异，真理越辩越明，最终达到对数学本质的共同认识；这些都有利于形成和发展学生正确的情感、态度和价值观。其次，交流与反思这一教学环节可以使学生检查和评价自己对所学数学知识的理解是否正确，既强化正确的理解，同时又及时矫正某些错误的认识，查找出现错误的真正原因。再次，交流与反思这一教学环节可以帮助学生优化学习方法和问题解决方法，善于从“多解”中发现最本质的具有统摄性的数学思想与方法，淡化特殊技巧，注重通性通法，轻“术”重“道”,教师只要把方法教“活”了就变成思想，切忌把方法教“死”了就变成技巧。

另外，学生在交流与反思中能切实感受到学习数学成功的喜悦，激发学习数学的兴趣，从而增强主动获取数学知识的信心和动力。最后，学生在交流与反思中可以进一步了解所学数学知识的逻辑起点是什么，新知识是哪些已有数学知识的扩充或发展，以此促进学生更好地感受和理解数学知识的发生、发展过程。为此，要特别注意以下几方面：交流矫正思维方式偏差，交流矫正思维结果偏差，交流反思重要知识，交流反思方法优劣，交流反思数学思想，交流反思关键步骤，交流反思错误原因(思维受阻原因),交流反思问题变式等。

例如在习题课教学中，应该多给学生展示机会，善待学生的非标准思路。让学生有机会去解释解答的合理性，给学生机会讨论交流有几种解题策略，哪种解法更加简便，各有什么优劣，题目还可以变化吗?等等。甚至也可以给学生机会，让学生自己编制题目，扩展学生的思维活动。

案例3:“两角和的余弦公式”的习题课教学[7]。

在本节课中，一位教师曾多次使用这样一道题“若A、B为锐角，sinA=57,cos(A+B)=1114,求cosB”来培养学生灵活运用公式的能力。某次有一位学生发现这样的角根本不存在。

这位学生有着批判性思维，善于观察，敢于质疑。教师应当持有包容的态度，对这位学生给予肯定，并给他机会谈谈自己的观点，用数学的语言阐述为什么这个角不存在。还可以在班上展开讨论，让其他同学一起思考，通过交流讨论得出因为A+B<A,该题本身是一道错题的结论。

可惜这位教师忽视学生这一质疑，还批评了学生的荒谬想法，认为学生偏离主题，应该把重点放在怎样解题上面。任由学生的求异思维滑过，令人十分惋惜。

案例4:在一节填空题讲评课上有这样一道题，设x,y∈R,且x+y=2a-1,x2+y2=a2+2a-3,则xy的最小值是____。

这道看似很简单、只需要利用完全平方公式的变形即可解决的问题，大多数学生都错了。那么教师在评价作业时必然需要讲解此题的正确解题思路。

如果想要学生印象更加深刻，学会交流反思，提高数学表达能力，何不给学生一个机会和平台，请一位此题做错了的学生上台板书他的解题过程。他是这样做的：

2xy=(x+y)2-(x2+y2)=3a2-6a+4=3(a-1)2+1≥1,

所以所求xy的最小值为12。

然后再请其他同学点评此题的解决过程：

有同学说：这个最小值12是当a=1时取得，而由题设a不一定能够取得1。

接着有同学说：如果a=1,那么由已知得x+y=1,x2+y2=0要同时成立，显然这是不可能的。

同学们在交流讨论中自行发现了问题，学会在解题中一定要考虑题目中的隐藏条件。给学生机会展示、交流、表达和反思，让学生在交流与反思的过程中获得进步。

目前，仍然存在学生高分低能、呆头呆脑的现象，就如案例3那样，培养的学生只会追求解题对错，不知道应该如何想题，这在一定程度上丧失了培养学生思维的批判性和创造性。学生从此在课堂上不敢质疑老师，有什么好的想法不敢表达。还有部分学生经常在解决问题时，往往觉得思路是正确的，计算也没有问题，但是结果常常是错误的。对此，采用更加启智增慧的教学方法，就能够有效检测学生的思维错误，帮助学生提高反思能力，形成良好的思维习惯。

四、结论

总之，在以学生为主体的数学教学中，给学生内容、给学生时间、给学生机会其实是一个既连续又同时发生的教学过程。只是在不同的教学环节和不同类型的课题教学中，侧重点应当有所不同。

1. 在教学中这“三给”的顺序是，首先要给学生内容和任务，其次要保证学生有足够的自主思考时间和空间，最后要给学生展示机会表达自己的观点和想法。“三给”之间是相辅相成的，“给学生内容”是基础、是根本，否则后面“两给”无从谈起、是空谈；“给学生时间”“给学生机会”是相信学生、信任学生，充分发挥学生的主体作用，淡化教师的“主讲”作用。

2. 课前预习和课后复习巩固环节，应该适当给予学生内容任务；而在课中应当侧重于给学生自主学习时间和机会开展探究活动及小组合作交流活动，保证是以教师为主导、以学生为主体的“双主”教学，实现课堂教学效益最大化。

3. 在概念、命题、公式等新授课教学中，应侧重于给学生自主学习的时间与空间和质疑辨析的展示机会，当然也要给学生明确的学习内容和任务；在习题、问题解决、复习课和讲评课中，应侧重于给学生明确的自主学习内容任务和交流表达的展示机会，当然也要保证学生有适当时间来完成。

“三给”数学教学策略不是一种全新的教学模式，而是数学教师教学实践的提炼、总结与普及，它存在于现有教学实践与教学思想中，只是要在教学实践中自觉地提升并张扬出来，成为指导日常数学教学的重要教学理念，通过课堂上教师的主导作用的发挥，以切实保证学生在课堂上的主体地位，充分体现“以学为主，以学论教”的教育教学思想。

参考文献:

[1][5]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版2020年修订[S].北京:人民教育出版社,2020:4,75.

[2]熊惠民.中学数学教学设计与案例研究[M].北京:科学出版社,2013:15.

[3]义务教育教科书·数学:八年级下册[M].北京:人民教育出版社,2013:73.

[4]章建跃,李增沪.普通高中教科书·数学·A版:必修第一册[M].北京:人民教育出版社,2019:62.

[6]张乃达.数学思维教育学[M].南京:江苏教育出版社,1990:239.

[7]涂荣豹,王光明,宁连华.新编数学教学论[M].上海:华东师范大学出版社,2006:131.

文章来源：张晓斌,张程垣,马玉娟,刘小萍.基于学生主体的“三给”数学教学策略研究[J].中小学教师培训,2021(12):51-54.